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次元解析の問題です。求め方が分からないので教えてください。
問題

弦楽器の振動数fは、弦の線密度ρ、弦の長さl、弦の張力Sによって決まる。次元を持たない比例定数をkとし、振動数を算出する式を求める過程を示せ。ただし、振動数はT^-1の次元を持つ。

gooドクター

A 回答 (1件)

弦の線密度は、「単位長さあたりの質量」なので


密度 [kg/m^3] に「断面積 m^2」をかけた ρ [kg/m]

弦の長さは L [m]
弦の張力は S [N] = S [kg・m/s^2]  (1 [N] とは「1 kg の質量に 1 m/s^2 の加速度を生じさせる力」です)

「これ以外のパラメータは関係しない」とお墨付きをもらえれば、ある程度「次元」から振動数を算出する式を推定できますが、それだけで確定させるのは無理でしょう。

振動数は [1/s] です。(Hz という単位が [1/s] であることは分かりますね?)
時間の要素をもつのは「弦の張力」だけですから、弦の張力から √S が必要になるのは分かります。
そうすると、張力の中の [kg] を消すためには S/ρ とすることが必要で、このとき
 S/ρ [[m^2/s^2]
となるので、√(S/ρ) [m/s] の [m] を消去するために
 (1/L)√(S/ρ) [1/s]
とすれば良さそうです。
これから、無次元の比例定数 k を用いて
 f = (k/L)√(S/ρ)
と「できそう」というところまでは推測できます。
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