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x1=0.2、Δx=0.02の時関数f(x)=sin(2πx)についてf(x1+Δx)の近似解をテイラー展開で計算し、厳正解との相対誤差(%)を求めろ。
という問題があるのですが、全く分かりません。
どなたかやり方を分かりやすく詳しく説明して頂けたら嬉しいです...。
紙に手書きで書いた物を写真でも構いません。
きちんと理解したいので、答えのみの場合は結構です。途中式や補足説明など詳しく説明して頂ける方お願い致します。

質問者からの補足コメント

  • 第3項までを用いて、と書いてありました!
    説明不足ですみません!

      補足日時:2020/05/19 21:24
  • 追加ありがとうございます!
    厳正解を求めるアテが無いと仰られているのですが、この問題文だけでは厳正解は分からないという事でしょうか...?

      補足日時:2020/05/19 21:49
  • x1=0、Δx=0.02のとき。
    e0=1.0、e0.02=1.02020134 が厳正解と例題で解かれているのですが、どの様に解いたのでしょう...?
    少しでもヒントになるでしょうか...。

      補足日時:2020/05/19 23:40

A 回答 (4件)

> e0=1.0、e0.02=1.02020134 が厳正解と例題で解かれているのですが、


> どの様に解いたのでしょう...?

そんなん知るかいな。それを計算した人に聞かんと。
sin(2π(x1+Δx)) = sin((0.44)π) の値は、No.3 に書いたような方法で計算することができる。
≒ 0.9822873... になるはずだけど?
そもそも sin(なんとか) なんだから、1 を超えるわけはない。
「厳正解」が 1.02020134 って、いったいどういうことだか説明がほしい。
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> この問題文だけでは厳正解は分からないという事でしょうか...?



x1 = 0.2, Δx = 0.02 のとき sin(2π(x1+Δx)) の厳密値は
sin((0.44)π) であることは判るが、その sin((0.44)π) の値を
小数で書くことは容易ではないということ。
今回は近似値が2次近似だが、厳密値のほうも
次数を上げたテイラー近似で代用にするくらいしか思いつかない。

あ、0.44 = 11/25 の既約分母が 25 だから、25 倍角公式を
25 次方程式として解く手もあるな。ニュートン法でも使って。
これも近似値に過ぎないけれど。
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>第3項までを用いて、と書いてありました!



ならば、2次近似(0,1,2次の項があって3項)ですね。

(2次近似) = sin(2π(x1)) + {cos(2π(x1))/1!}(2πΔx) + {-sin(2π(x1))/2!}(2πΔx)^2
= sin((0.4)π) + cos((0.4)π)(0.04)π - {sin((0.4)π)/2}((0.04)π)^2
= √{(5+√5 )/8} + (-1+√5)(0.01)π - √{(5+√5 )/2}(0.0004)π^2
= 0.9823795...

です。
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sin(2πx) の x = x1 におけるテイラー展開は、


sin(2π(x1+Δx)) = sin(2π(x1)) + {cos(2π(x1))/1!}(2πΔx) + {-sin(2π(x1))/2!}(2πΔx)^2 + {-cos(2π(x1))/3!}(2πΔx)^3 + ...
です。

「近似解をテイラー展開で計算し」とは言っても、何次近似かによって異なりますが、
(1次近似) = sin(2π(x1)) + {cos(2π(x1))/1!}(2πΔx),
(2次近似) = sin(2π(x1)) + {cos(2π(x1))/1!}(2πΔx) + {-sin(2π(x1))/2!}(2πΔx)^2,
(3次近似) = sin(2π(x1)) + {cos(2π(x1))/1!}(2πΔx) + {-sin(2π(x1))/2!}(2πΔx)^2 + {-cos(2π(x1))/3!}(2πΔx)^3,
...
などです。何次近似を計算してみましょうか?

x1 = 0.2, Δx = 0.02 を上記へ代入すると、
(1次近似) = sin((0.4)π) + cos((0.4)π)(0.04)π,
(2次近似) = sin((0.4)π) + cos((0.4)π)(0.04)π - {sin((0.4)π)/2}((0.04)π)^2,
(3次近似) = sin((0.4)π) + cos((0.4)π)(0.04)π - {sin((0.4)π)/2}((0.04)π)^2 - {cos((0.4)π)/6}((0.04)π)^3,
...
これと
cos((0.4)π) = cos72° = (-1 + √5)/4,
sin((0.4)π) = sin72° = √{ (5 + √5 )/8 }.
から
(1次近似) = √{(5+√5 )/8} + (-1+√5)(0.01)π,
(2次近似) = √{(5+√5 )/8} + (-1+√5)(0.01)π - √{(5+√5 )/2}(0.0004)π^2,
(3次近似) = √{(5+√5 )/8} + (-1+√5)(0.01)π - √{(5+√5 )/2}(0.0004)π^2 - {(-1+√5)/3}(0.000008)π^3,
...
√ と π に適切な近似値を用いれば、これを小数で書き下すこともできます。
(1次近似) = 0.9898887...,
(2次近似) = 0.9823795...,
(3次近似) = 0.982277...,
...


相対誤差とは { (近似値) - (厳密値) }/(厳密値) のことです。
これを計算するには厳密値が必要です。
sin(2π(x1+Δx)) = sin((0.44)π) の厳密値を求めるアテがないことが問題になりますね。
通常、こういう厳密値を求めようがない関数の値を知るために、
次数を上げたテイラー展開近似の値などを使うのですが。
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