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z ^6=-1+√3iを解けと言う問題が分かりません。

質問者からの補足コメント

  • z ^6=1やz ^3=8iの計算などはできます。

      補足日時:2020/05/19 16:52
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A 回答 (4件)

z^6 = -1+i√3 = 2{ cos((2/3)π) + i sin((2/3)π) } = 2 e^((2/3)πi) より、


z = { 2 e^((2/3)πi) }^(1/6) = { 2^(1/6) }{ e^((π/9)i) } = { 2^(1/6) }{ cos(π/9) + i sin(π/9) }
= { 2の6乗根 }{ cos20° + i sin20° }.
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z=a+bi、を極座標で表してz=√(a²+b²)*(cosθ+sinθi)


ド・モアブルの定理から
z⁶=(√(a²+b²))⁶*(cos6θ+sin6θi)
-1+√3iを極座標で表して=2*(cos2Π/3+sin2Π/3i)
z⁶=(√(a²+b²))⁶*(cos6θ+sin6θi)=2*(cos2Π/3+sin2Π/3i)
z=⁶√2*(cosΠ/9+sinΠ/9i)
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z=r(cosθ+i sinθ) (ただし、0≦θ<2π)とおくと、z⁶=r⁶(cos6θ+i sin6θ)


一方、-1+√3i=(1/2){cos(2/3)π+i sin(2/3)π}だから、その2つを比べればいい。
(0≦6θ<12πに注意)
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z=r(cosθ+isinθ)とおいて計算すればいいのではないですか?

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