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A, Bを共にRの部分集合とするとき, 2つの確率変数X とYが独立であれば,事象 X∈Aと事象Y∈Bとは独立となる, すなわち,
P(X∈A かつY∈B) = P(X∈A)P(Y∈B)が成り立つことを示せ。

という問題が解けずに困っています。
事象の独立性はP(A∩B)=P(A)P(B)、確率変数の独立性は同時確率密度関数fXY(x,y)を用いて
fXY(x,y)=fX(x)fY(y)と表されることから導かれるのではと考えているのですがこの考え自体が間違っているのでしょうか。

A 回答 (1件)

fXY(x,y) = fX(x) fY(y) であるとき、


∬[(x,y)∈A×B] fXY(x,y) dxdy = ∫[x∈A] fX(x,y) dx ∫[y∈B] fY(x,y) dy は成り立つか?
って質問ですよね。

成り立ちます。
∬[(x,y)∈A×B] fXY(x,y) dxdy = ∫[y∈B]∫[x∈A]{ fX(x) fY(y) }dxdy ; 重積分を反復積分に書き換え
= ∫[y∈B] fY(y){ ∫[x∈A] fX(x) dx }dy ; fY(y) は ∫[x∈A] … dx の中で定数だから ∫ の外へ括り出す
= { ∫[x∈A] fX(x) dx }∫[y∈B] fY(y) dy ; ∫[x∈A] fX(x) dx は ∫[y∈B] … dy の中で定数だから∫ の外へ括り出す
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