作用素ノルムが本当にノルムであることを確かめたいです。証明そのものや証明が載っている本を教えてくださ

作用素ノルムが本当にノルムであることを確かめたいです。証明そのものや証明が載っている本を教えてください。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/20 17:04

ノルム空間 X からノルム空間 Y への線型作用素 T について、

作用素ノルムを ||T|| = sup{ ||Tx|| | ||x||=1 } で定義する。
これがノルムであることについては、たいていの本では
自分で確認せよ と演習にして済ませている。

ノルムの定義は、３つの公理
　独立性：　　||v|| = 0 ⇔ v = 0,
　斉次性：　　||av|| = |a| ||v||,
　劣加法性：　||u + v|| ≦ ||u|| + ||v||
からなる。

独立性：
||T|| = 0　⇔　sup{ ||Tx|| | ||x||=1 } = 0　； 定義のにより
　　　　⇔　||x|| = 1 のとき ||Tx|| = 0　; ノルムは常に ≧0 なので
　　　　⇔　||x|| = 1 のとき Tx = 0　　； Y のノルムの独立性
　　　　⇔　T = 0.　　　　　　　　； T^-1 が存在すると矛盾

斉次性：
||aT|| = sup{ ||aTx|| | ||x||=1 }　； 定義により
　　= sup{ |a| ||Tx|| | ||x||=1 }　； Y のノルムの斉次性
　　= |a| sup{ ||Tx|| | ||x||=1 }　； sup の性質により
　　= |a| ||T||.　　　　　　　； 定義により

劣加法性：
||T + U|| = sup{ ||(T+U)x|| | ||x||=1 }　　； 定義により
　　　　= sup{ ||Tx+Ux|| | ||x||=1 }　　； 作用素空間の線型性
　　　　≦ sup{ ||Tx||+||Ux|| | ||x||=1 }　； Y のノルムの劣加法性
　　　　≦ sup{ ||Tx|| | ||x||=1 } + sup{ ||Ux|| | ||x||=1 }　； sup の性質により
　　　　= ||T|| + ||U||.