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作用素ノルムが本当にノルムであることを確かめたいです。証明そのものや証明が載っている本を教えてください。

gooドクター

A 回答 (1件)

ノルム空間 X からノルム空間 Y への線型作用素 T について、


作用素ノルムを ||T|| = sup{ ||Tx|| | ||x||=1 } で定義する。
これがノルムであることについては、たいていの本では
自分で確認せよ と演習にして済ませている。

ノルムの定義は、3つの公理
 独立性:  ||v|| = 0 ⇔ v = 0,
 斉次性:  ||av|| = |a| ||v||,
 劣加法性: ||u + v|| ≦ ||u|| + ||v||
からなる。

独立性:
||T|| = 0 ⇔ sup{ ||Tx|| | ||x||=1 } = 0 ; 定義のにより
    ⇔ ||x|| = 1 のとき ||Tx|| = 0 ; ノルムは常に ≧0 なので
    ⇔ ||x|| = 1 のとき Tx = 0  ; Y のノルムの独立性
    ⇔ T = 0.        ; T^-1 が存在すると矛盾

斉次性:
||aT|| = sup{ ||aTx|| | ||x||=1 } ; 定義により
  = sup{ |a| ||Tx|| | ||x||=1 } ; Y のノルムの斉次性
  = |a| sup{ ||Tx|| | ||x||=1 } ; sup の性質により
  = |a| ||T||.       ; 定義により

劣加法性:
||T + U|| = sup{ ||(T+U)x|| | ||x||=1 }  ; 定義により
    = sup{ ||Tx+Ux|| | ||x||=1 }  ; 作用素空間の線型性
    ≦ sup{ ||Tx||+||Ux|| | ||x||=1 } ; Y のノルムの劣加法性
    ≦ sup{ ||Tx|| | ||x||=1 } + sup{ ||Ux|| | ||x||=1 } ; sup の性質により
    = ||T|| + ||U||.
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