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表が出る確率がp、裏が出る確率が1-pである1個のコインがある。ただし、pは0<p<1である定数とする。このコインを繰り返し投げる試行を考える。nを2以上の自然数とし、Qnをn回目に初めて2回続けて表が出る確率とする。
(1)Q2、Q3、Q4をpを用いて表せ。
(2)1回目に表が出た場合と裏が出た場合に分けることによって、
Qn+2をQn、Qn+1およびpを用いて表せ。

答えは

ⅰ)1回目が表のとき、2回目が裏であり、3回目から数えてちょうどn回目に、初めて2回続けて表が出ればよい。この確率は
p(1-p)Qn

(ⅱ)1回目が裏のとき、2回目から数えてちょうどn+1回目に初めて2回続けて、表が出ればよい。この確率は、
(1-p)Qn+₁

こららより、n+2回目に初めて2回続けて表が出る確率は、
Qn+₂=(1-p)Qn+₁+p(1-p)Qn

なのですが、(ii)がわからないです。
(i)は3回目から数えてn回目に2連続になると考えてその式になるので、(ii)も2回目から数えてn回目に2連続になればいいから、(1-p)Qnではないのですか?なぜn+1にする必要があるのですか?nは2以上であると書いてあるのでn+1にする必要が全くわかりません、、。

詳しい説明お願いします!

A 回答 (2件)

>(ii)も2回目から数えてn回目に2連続になればいいから、(1-p)Qnではないのですか?なぜn+1にする必要があるのですか?



「2回目から数えてn回目」だったら、まだ「n+1 回目」だよ。
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今問題にしているのは「n+2回目で初めて表が 2回連続して出た」という状態だよね.



で, i) で「3回目から数えて n回目」なわけだ. じゃあ, 「2回目」から数えると何回目?
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