温度Tで、質量mのバネがボルツマン分布する時の平均のエネルギー<E>を知りたいのですが、


<E>=∬Eexp(―E/kT)dxdp/∬exp(―E/kT)dxdp
    
    (kはボルツマン定数、pはX方向の運動量、E=1/2・a2乗・ω2乗)


の解き方がよくわかりません。どうしたら、いいんでしょうか?

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A 回答 (2件)

siegmund です.



量子的にやるなら,n 番目の固有状態(n = 0,1,2...)のエネルギーが
(7)  E_n = [n + (1/2)] (h/2π)ω
ですから,分配関数 Z が
(8)  Z = Σ_{n=0}^∞ exp{- β[n + (1/2)] (h/2π) ω}  β = 1/kT
     = exp[- β (h/2π)ω/2] Σ_{n=0}^∞ exp{- β(h/2π) ω}^n
ですから,無限等比級数の和ですぐ求められます.
ちょっと整理して
(9)  Z = 1 / {2 sinh [β(h/2π)ω/2] }
で,あとは公式(6)を使えばOKです.
結果は
(10)  U = (h/2π)ω/2 + (h/2π)ω/{exp[β(h/2π)ω] - 1}
で,β→0 (kT→∞)とすると,古典の場合に戻ります.

直接 U を和の形に書くなら
(11)  U = (1/Z) Σ_{n=0}^∞ [n + (1/2)] (h/2π) ω exp{- β[n + (1/2)] (h/2π) ω}
ですが,和のところは本質的に Z のβ微分で出てきます.
ここら辺を整理したのが公式(6)になっています.
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表記からして,調和振動子は古典的(量子的でなく)扱うのですね.


統計力学の基本的問題です.

まず,答はエネルギー等分配則から直ちにわかります.
エネルギー等分配則は,
1自由度あたり (1/2)kT のエネルギーが分配されるというもの.
今,自由度は2(座標 x と運動量 p)ですから,
(1)  <E> = kT
です.

k---1 さんが書かれた式から導くのでしたら,
(2)  E = p^2 / 2m + m ω^2 x^2 / 2
ですから,x 積分と p 積分は分離できますね.
あとは,ガウス積分
(3)  ∫_{-∞}^{∞} exp(-c u^2) du = √(π/c)  (c>0)

(4)  ∫_{-∞}^{∞} u^2 exp(-c^2 u^2) du
がわかればよい.
(4)の積分は(3)の両辺を c で微分すれば直ちに求められます.

他には,分配関数
(5)  Z = ∫∫ exp(- E / kT) dx dp / h
を求めて(プランク定数 h で割るのを忘れないように),
統計力学の公式
(6)  U = <E> = -(∂/∂β) ln Z   (β=1/kT)
を使うという手もあります.

この回答への補足

回答ありがとうございます。もしよければ、量子的に扱う場合も教えて頂きたいのですがよろしいでしょうか。

補足日時:2001/08/10 00:10
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。すごく参考になりました。

お礼日時:2001/08/10 01:05

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Aベストアンサー

こんにちは。先ほどのご質問では迅速なお返事を有難うございました。

おっしゃる通り、theでも代用できます。itsはtheより指示性が強く、より明確に特定したい時に使われます。

ただ、itsを敢えて使っているということは、itsに置き換えることのできる名詞が、前文で必ず登場しているはずです。そうでなければ、いきなりitsは登場しません。

ご質問にある例文が、何かの文章の中の一文であるなれば、その前の文を確認されてみて下さい。必ずitsの指すものが見つかるはずです。

また、試験問題で使われる場合でも、単独でItsがいきなり登場することはありません。関係代名詞の形容詞的用法の出題で、よくitsが使われることはありますが、その場合も、かならずitsの指示するものが登場しています。

例:
(問題)I have a dog. Its name is Pochi.
を関係詞を使って一文に書き換えよ。

(答え)I have a dog whose name is Pochi.
となります。ここでも、itsの指す名詞、a dogが前出しています。

以上ご参考までに。

こんにちは。先ほどのご質問では迅速なお返事を有難うございました。

おっしゃる通り、theでも代用できます。itsはtheより指示性が強く、より明確に特定したい時に使われます。

ただ、itsを敢えて使っているということは、itsに置き換えることのできる名詞が、前文で必ず登場しているはずです。そうでなければ、いきなりitsは登場しません。

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Aベストアンサー

重心は、任意の点の周りのモーメントを考えたときに、「微小部分の重量のモーメントの総和=全重量が重心位置にある場合のモーメント」となる点です。

 与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、x座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
 ΔS = √(1 - x)*dx
です。
 この部分原点回りのモーメントの「腕の長さ」は x ですから、物理的な「力」を考えるために密度を ρ として、モーメントは
  ρ*xΔS = ρ*x√(1 - x)*dx
です。従って、「微小部分の重量のモーメントの総和」は
  ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx    (1)
です。

 これに対して、「全重量が重心位置にある場合のモーメント」は、重心の x 座標を x0 とすると
  ρ*S*x0     (2)

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  ρ*S*x0 = ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx

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 与えられたのは、半径 1 の 1/4 円の扇型です。その「微小部分」を、x座標を x ~ x+dx の「縦割り」部分にすると、面積は「高さ」が √(1 - x) 、幅が dx ですから
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こんにちは。7/18のご質問ではお返事を有難うございました。

ご質問1:
<every bird likes its own nest the best >

1.この文の直訳は
「全ての鳥は、自分自身の巣が、一番好きだ」
となります。

2.its「それの」は人称代名詞で、ここではevery birdを指しています。

3.every bird「すべての鳥」なのに単数のIts? と疑問に思われるかもしれませんが、everyはeach「おのおの」などと同じく、単数扱いになります。

4.このitsはただの人称代名詞で、強調用法ではありません。強いて言えば、own「自身の」が強調のニュアンスがあり、its ownで「自分だけの」と所有を限定している点で、一種の強調と言えるかも知れません。


ご質問2:
<単純に、強調したい言葉の前にいれればいいんですか?>

そんなことはありません。

上記で解説したように、Its自体は強調の用法はありません。


ご質問3:
<例えば i like its chocolate the best チョコレートが一番好きだ。
ーこの文は成立できるのでしょうか?>

文脈によっては成立します。が、itsは強調ではなく、単なる人称代名詞です。

1.前に、itsの指す内容が既に出てきた場合です。
例:
I watched on TV the CM of XX Chocolate.
I like its chocolate the best.
「TVでXXチョコレートの宣伝を見た。
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といった場合には、使えます。
この時、itsはXX Chocolateを指しています。

以上ご参考までに。

こんにちは。7/18のご質問ではお返事を有難うございました。

ご質問1:
<every bird likes its own nest the best >

1.この文の直訳は
「全ての鳥は、自分自身の巣が、一番好きだ」
となります。

2.its「それの」は人称代名詞で、ここではevery birdを指しています。

3.every bird「すべての鳥」なのに単数のIts? と疑問に思われるかもしれませんが、everyはeach「おのおの」などと同じく、単数扱いになります。

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Aベストアンサー

 
 
 たしか波数の単位ですよね。検索したらヒットしました。
http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictK.html
 
 

参考URL:http://www.unc.edu/~rowlett/units/dictK.html


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