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温度Tで、質量mのバネがボルツマン分布する時の平均のエネルギー<E>を知りたいのですが、


<E>=∬Eexp(―E/kT)dxdp/∬exp(―E/kT)dxdp
    
    (kはボルツマン定数、pはX方向の運動量、E=1/2・a2乗・ω2乗)


の解き方がよくわかりません。どうしたら、いいんでしょうか?

A 回答 (2件)

siegmund です.



量子的にやるなら,n 番目の固有状態(n = 0,1,2...)のエネルギーが
(7)  E_n = [n + (1/2)] (h/2π)ω
ですから,分配関数 Z が
(8)  Z = Σ_{n=0}^∞ exp{- β[n + (1/2)] (h/2π) ω}  β = 1/kT
     = exp[- β (h/2π)ω/2] Σ_{n=0}^∞ exp{- β(h/2π) ω}^n
ですから,無限等比級数の和ですぐ求められます.
ちょっと整理して
(9)  Z = 1 / {2 sinh [β(h/2π)ω/2] }
で,あとは公式(6)を使えばOKです.
結果は
(10)  U = (h/2π)ω/2 + (h/2π)ω/{exp[β(h/2π)ω] - 1}
で,β→0 (kT→∞)とすると,古典の場合に戻ります.

直接 U を和の形に書くなら
(11)  U = (1/Z) Σ_{n=0}^∞ [n + (1/2)] (h/2π) ω exp{- β[n + (1/2)] (h/2π) ω}
ですが,和のところは本質的に Z のβ微分で出てきます.
ここら辺を整理したのが公式(6)になっています.
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表記からして,調和振動子は古典的(量子的でなく)扱うのですね.


統計力学の基本的問題です.

まず,答はエネルギー等分配則から直ちにわかります.
エネルギー等分配則は,
1自由度あたり (1/2)kT のエネルギーが分配されるというもの.
今,自由度は2(座標 x と運動量 p)ですから,
(1)  <E> = kT
です.

k---1 さんが書かれた式から導くのでしたら,
(2)  E = p^2 / 2m + m ω^2 x^2 / 2
ですから,x 積分と p 積分は分離できますね.
あとは,ガウス積分
(3)  ∫_{-∞}^{∞} exp(-c u^2) du = √(π/c)  (c>0)

(4)  ∫_{-∞}^{∞} u^2 exp(-c^2 u^2) du
がわかればよい.
(4)の積分は(3)の両辺を c で微分すれば直ちに求められます.

他には,分配関数
(5)  Z = ∫∫ exp(- E / kT) dx dp / h
を求めて(プランク定数 h で割るのを忘れないように),
統計力学の公式
(6)  U = <E> = -(∂/∂β) ln Z   (β=1/kT)
を使うという手もあります.

この回答への補足

回答ありがとうございます。もしよければ、量子的に扱う場合も教えて頂きたいのですがよろしいでしょうか。

補足日時:2001/08/10 00:10
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。すごく参考になりました。

お礼日時:2001/08/10 01:05

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