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後半部分の証明がわかりません。
どなたかおねがいします…

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A 回答 (2件)

表記の関係で一定を示す変数は T,V → t,v とする。


マクスウェルの関係式
(∂S/∂p)t=-(∂V/∂T)p・・・・・①
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF …

δQ=TdS=CvdT+T(∂S/∂V)t dV・・・・・②
δQ=TdS=CpdT+T(∂S/∂p)t dp・・・・・③

1.
➂①から
δQ=TdS=CpdT-T(∂V/∂T)p dp・・・・・・・・・・④
となり、
V=V₀{1+β(T-T₀)-k(p-p₀)}・・・・・・⑤
を入れると
dS=Cp(dT/T)-V₀βdp=d(Cp logT-V₀βp)
積分して
S-S₀=Cp log(T/T₀)-V₀β(p-p₀)・・・・・⑥
を得る。

2.
p=p(T,V)により
dp=(∂p/∂T)v dT+(∂p/∂V)t dV
となり、④にいれると
δQ=TdS=CpdT-T(∂V/∂T)p { (∂p/∂T)v dT+(∂p/∂V)t dV }
    ={Cp-T(∂V/∂T)p(∂p/∂T)v} dT+T(∂V/∂T)p(∂p/∂V)t dV
となる。

dSは完全微分なので、この式と②のdTの係数は同じとなるから
Cv=Cp-T(∂V/∂T)p (∂p/∂T)v=Cp-TβV(∂p/∂T)v・・・・⑦
を得る。

つぎに、V=V(p,T) により
dV=(∂V/∂p)t dp+(∂V/∂T)p dT=V(-kdp+βdT)
となるが、体積一定(dV=0)のとき、この式は (∂p/∂T)v=β/k となり、これを➆に入れると

Cv=Cp-TβVβ/k=Cp-VTβ²/k・・・・・⑧
となる。ここで、⑤を使うと

Vβ=(∂V/∂T)p=V₀β、Vk=-(∂V/∂p)t=V₀k
となるので、⑧は
Cv=Cp-VTβ²/k=Cp-T(Vβ)²/(Vk)=Cp-T(V₀β)²/(V₀k)=Cp-V₀Tβ²/k
を得る。
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一般に


Cp-Cv=T・-[(ðV/ðT)p」²/[(ðV/ðP)T」がなりたつので(・は積の意味)
上で求めた状態式から出てきます。
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