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閉区間[a,b]で定義された実数値被積分関数がその区間で連続関数なら、
[a,b]の全てのxの点でF(x)の値が定義されてるような(xの値に対して面積を与えてくれる)不定積分が存在する。
(被積分関数が連続関数だから[a,b]の全てのxの点でF(x)の値が定義されてる、閉区間[a,b]で定積分可能だから[a,b]を定義域とする不定積分が存在する。)
というところまでは納得できる。しかし、その不定積分が原始関数の1つであるというのがわからない。

定積分(面積)は、Riemann和から苦労して求めて、xにたいして定積分(面積)を与える関数(不定積分)はもっと苦労してもとめる。
それをいろいろな被積分関数に対して行っていくと、積分領域の全てのxの点で連続な被積分関数なら不定積分を微分する(導関数を求める)とその導関数と被積分関数とが完璧に一致する。
ってことが発見されただけのことなのでしょうか?
そしてそれが正しいことをニュートンが証明した?

定積分はその領域の面積のことで、不定積分は終端を(定積分可能な区間を動く)変数xとして当然xが動くとその定積分すなわち面積が変わるから関数の形にした。
面積が定積分で面積を与える関数が不定積分ということで良いのでしょうか?

つまり微分するということが微分係数(スカラー)を求めるのと導関数(xにたして微分係数をあたえる関数)を求めることの2つの場合があるように、
積分するというのにも面積(スカラー)を求めるのと面積を与える関数を求めるのとで2つの場合があり両方とも積分というとどちらを指すのかがわからないから、
面積を「定」、関数を「不定」としたのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • >「定積分」と「不定積分」が歴史的には全く関係のない別々の操作だった
    どういうことでしょうか?
    一般に曲線で囲まれた領域の面積を求める方法がない。
    そこでRiemann和によって求められた定積分を面積とする。
    またこの面積は古典的な求積によって得られた面積と矛盾しない。

    これを領域の終端を変数にし、面積を与える関数を不定積分とする。

    ということではないのでしょうか?

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2020/05/22 11:42
  • アマゾンでためし読みしました。
    リーマン積分にはダルブーの上積分下積分のイメージが強すぎて、Riemann和についてあまり良くわかってませんでした。

    下の式(Riemann和)の極限を取ると、i番目の長方形の底辺である(c_i-c_{i-1})はdxになり、i番目の長方形の高さであるf(c_i)がc_iの微分係数f'(c_i)と等しくなるということには気づいたのですが、

    「微分積分学の基本定理の一番目について。」の補足画像2
    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2020/05/22 15:20
  • ニュートンのいう分析と総合の道具「微分積分」の積分は微分で細々にされたものを総合する手法であって本来は定積分(面積)とは何ら関係のないものだったということでしょうか?

    No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2020/05/23 09:43
  • 細かく刻み(微分)積み重ねる(積分)という手法を使えば、面積も求めることができる。
    面積が積分の本質であるのではなく、積分を使えば面積が求められるというだけのことなのでしょうか?
    結局ニュートンのいう積分は(微分と対になる)逆微分のことだったってことでしょうか?
    つまりニュートンが定義した積分はwikiの不定積分のページの「逆微分の定義」ことだったのでしょうか?

    大発見は求積が微分の逆演算だったということではなくニュートンが考えた微分の逆演算が求積と同じだったということなのでしょうか?

      補足日時:2020/05/23 09:55

A 回答 (4件)

違う.



歴史的にいえば
・曲線 y=f(x) と x軸及び 2直線 x=a, b でかこまれた領域の面積を求める操作が「定積分」
・「微分したら f(x) になる関数」 (原始関数) を求める操作が「不定積分」
であって (もちろん日本語で書いてあったわけではない), この 2つの操作が密接に関連するというのが「微分積分学の基本定理」の主張するところ.

「これを領域の終端を変数にし、面積を与える関数を不定積分とする」というのは (ある意味) 微分積分学の基本定理の*帰結*だ.
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

海外のwebサイトを中心にもう少し調べてみます。ありがとうございました。

お礼日時:2020/05/26 20:51

なんかいろいろ混乱してるような気がする... ので, どう解釈していいのかわからんのだけどとりあえず 1点指摘しておくと


「定積分」と「不定積分」が歴史的には全く関係のない別々の操作だった
というのは大丈夫でしょうか?
この回答への補足あり
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あまり意図が汲み取れませんが、テキトー。



1.
・定義
連続関数 f(x)に対して
f(x)の原始関数 F(x)・・・・F'(x)=f(x) を満たす F(x)
f(x)の不定積分 G(x)・・・・G(x)=∫[a,x] f(t) dt

定理により、G'(x)=f(x)=F'(x) なので「その不定積分が原始関数の1つである」・・・①

2.
>それをいろいろな被積分関数に対して行っていくと、積分領域の全てのxの点で連続な被積分関数なら不定積分を微分する(導関数を求める)とその導関数と被積分関数とが完璧に一致する<

①の通り、色々ではなく連続関数について。誰が証明したかは知らない。

3.
>面積が定積分で面積を与える関数が不定積分ということで良いのでしょうか?<

連続関数の場合、そうなのですが、正確には、積分によって「面積」を定義します。

4.
>2つの場合があり<

別に2つありません。微分も積分も一つの定数を変数にしただけです。
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込み入っているので、まとめて次のように言うしかない。



長沼伸一郎著『物理数学の直感的方法』第一章を参照のこと。
この回答への補足あり
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