π/4≦θ≦π/2 のときy=3sinθ+4cosθの最大値、最小値を求めよ。この求め方を教えてくだ

π/4≦θ≦π/2 のときy=3sinθ+4cosθの最大値、最小値を求めよ。この求め方を教えてください！！

質問者からの補足コメント

• 最大値が1だと思ったのですが、答えを見ると7√2/2でした。なぜsin(θ+α)がπ/2を通らないことがわかるのですか？

    補足日時：2020/05/22 17:24

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/22 17:19

三角関数の合成をする

3,4という辺をもつ直角三角形につういて3²+4²=5²（三平方の定理）だからその斜辺は　5
５でくくりだして
y=5{(3/5)sinθ+(4/5)cosθ}
cosα=3/5,sinα=4/5…①とすれば加法定理により　
=5{sinθcosα+cosθsinα}
=5sin(θ+α)
ただし①より　αは第一象限の角で　tanα=sinα/cosα=4/3＝1.33だからtan(π/4)=1とtan(π/3)=√3=1.73との比較から
π/4<α<π/3(αは52度前後と推測できる）
ゆえに、π/4≦θ≦π/2 とあわせて考えると（単位円で考えると分かりやすい）
θ＋αがαからπ/4だけ進んだ角度のとき　sin(θ+α）は最大となることが分かる
つまり最大値はθ＝π/４のときで
y[max]=3sin45°+4cos45°=7/√2

同様に　θ+αはαからπ/2だけ進んだ角度となるとき　sin(θ+a)は最小で(つまりθ=90°で最小）
y[min]=3sin90+4cos90=3

この回答へのお礼

なるほど！！ありがとうございます！！理解できました！

お礼日時：2020/05/22 17:25

No.1 回答者： springside 回答日時： 2020/05/22 17:00

三角関数の合成をすればいいだけなんだけど、教科書に載ってないの？