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円運動についてです
様々な円運動に関する様々な事実
・円運動が接戦方向と中心方向について成分分解すれば簡単に表せること
・中心方向の加速度
・接線方向の速度
・周期
などなど諸々の事実を導出する際オーソドックスなものは位置ベクトルを(cosθ,sinθ)と置いて定義に従って微分して行くことだと思いますがこれをr→=(x,y)とおいてx²+y²=|r→|²という束縛条件から導出することは出来ませんかね?(θという媒介変数を持ち出さずということです。)

つまりは円運動について0から10まで説明する時に束縛条件を用いて説明したいということです。
日本語が下手ですみません。分からないことがあれば申し付けください。よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

その条件だけだと位置と時間の関係が分からないので、不十分です。


θを使う極座標でも、θが時間に対してどのように変化するか(θ=ωtで等速であればωは一定)が前提として必要になります。同様に、直交座標でもxとyを時間の関数としてあらわすことができればx^2 + y^2 = r^2 の束縛条件でできます。
v = (x', y')
a = (x", y")
たとえば、
加速度と速度の向きの関係はvとaの内積を計算してやればわかります。等速なら0になるでしょう。
加速度の向きはx"とy"の比率から三角関数を用いて導くことになります。等速であれば中心を向くでしょう。
速度の大きさは(x')^2 + (y')^2の平方根ですね。

いずれにしてもxとyの時間変化が必要です。直交座標でやると結構面倒な計算が必要になるでしょう。
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この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
やはりそうですよね。少し前に運動方程式を立てて束縛条件とやったりもしたのですがそうすると力が未知でよく分からなくなってしまいました。難しいですかねぇ。

お礼日時:2020/05/24 11:48

x^2+y^2=定数=G(x, y)


とすると
dG/dt=∂G/∂x・dx/dt + ∂G/∂y・dy/dt=0
2x・dx/dt + 2y・dy/dt=0
r→=(x, y)、 v→=(dx/dt, dy/dt) として
r・v=0

くらいかな~

後は、具体的な運動与えず、束縛条件だけでだすのは無理。
束縛条件だけでは運動は定まらないから。

勿論等速円運動は導けるはずもない。
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この回答へのお礼

運動方程式をx,yのそれぞれで立ててもダメでしょうか。力が分からない以上難しいでよね、、、

お礼日時:2020/05/24 11:49

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