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数直線上の距離の話です。
a<b のとき、方程式 |x-a|+|x-b|=c があるとする。
(b-a)>cのとき、この方程式は解を持たないことを証明したいです。
教えてください。

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A 回答 (1件)

a<b のとき、方程式 |x-a|+|x-b|=c ……①


c≦0 のとき、①が解を持たないことは明らかです。
c>0 とします。

b-a>c より、b-a=c+d (d>0) とおきます。
c=b-a-d……②

[1] x≦a のとき、①は、
-(x-a)-(x-b)=c
-2x=c-a-b
x=(a+b-c)/2
②を代入すると、
x=(a+b-b+a+d)/2
=(2a+d)/2
=a+d/2 >a
よって、解なし。

[2] a<x<b のとき、①は
(x-a)-(x-b)=c
-a+b=c
②を代入すると、
-a+b=b-a-d
d=0
不適。
よって、解なし。

[3] b≦x のとき、①は、
(x-a)+(x-b)=c
2x=c+a+b
x=(c+a+b)/2
②を代入すると、
x=(b-a-d+a+b)/2
=(2b-d)/2
=b-d/2 <b
よって、解なし。

以上より、①は解をもちません。
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