複素関数 x^2+y^2+i2xy x^2-y^2+i2xy x^2+y^2-i2xy x^2-y^

複素関数


x^2+y^2+i2xy

x^2-y^2+i2xy

x^2+y^2-i2xy

x^2-y^2-i2xy

上の4つの関数で正則関数はどれになりますか？
また、どのように判別すればよいのでしょうか。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/26 03:40

その4つはどれも C^2 から C への関数だから

計算以前に正則ではありえない。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/05/26 10:35

C=(全複素数の集合)

としたとき

複素関数
x^2+y^2+i2xy
といった場合

x,yも複素数で

f:C^2→C

(x,y)∈C^2→f(x,y)=x^2+y^2+i2xy

という
2変数複素関数となってしまい
通常の(1変数)複素関数とは
微分の定義
正則の定義
が違うものになってしまうので
問題を次のように変更します

f:C→C
z∈C,z=x+iy,(x,yは実数)とする

1
f(x+iy)=x^2+y^2+i2xy
とfを定義した場合

u(x,y)=x^2+y^2
v(x,y)=2xy

u_x=2x
u_y=2y
v_x=2y
v_y=2x

u_x-v_y=0
だけれども
u_y+v_x=2y+2y=4y≠0
だから
f(x+iy)=x^2+y^2+i2xyは
正則でない

2
f(x+iy)=x^2-y^2+i2xy
とfを定義した場合
f(x+iy)=u+iv
とすると
u(x,y)=x^2-y^2
v(x,y)=2xy

u_x=2x
u_y=-2y
v_x=2y
v_y=2x

u_x-v_y=2x-2x=0
u_y+v_x=-2y+2y=0
だから
f(x+iy)=x^2-y^2+i2xyは正則

3
f(x+iy)=x^2+y^2-i2xy
とfを定義した場合
f(x+iy)=u+iv
とすると
u(x,y)=x^2+y^2
v(x,y)=-2xy

u_x=2x
u_y=2y
v_x=-2y
v_y=-2x

u_y+v_x=2y-2y=0
だけれども
u_x-v_y=2x+2x=4x≠0
だから
f(x+iy)=x^2-y^2+i2xyは正則でない

4
f(x+iy)=x^2-y^2-i2xy
とfを定義した場合
f(x+iy)=u+iv
とすると
u(x,y)=x^2-y^2
v(x,y)=-2xy

u_x=2x
u_y=-2y
v_x=-2y
v_y=-2x

u_x-v_y=2x+2x=4x≠0
u_y+v_x=-2y-2y=-4y≠0
だから
f(x+iy)=x^2-y^2+i2xyは正則でない

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/05/26 10:42

訂正です.

C=(全複素数の集合)
としたとき

複素関数
x^2+y^2+i2xy
といった場合

x,yも複素数で

f:C^2→C

(x,y)∈C^2→f(x,y)=x^2+y^2+i2xy

という
2変数複素関数となってしまい
通常の(1変数)複素関数とは
微分の定義
正則の定義
が違うものになってしまうので
問題を次のように変更します

f:C→C
z∈C,z=x+iy,(x,yは実数)とする

1
f(x+iy)=x^2+y^2+i2xy
とfを定義した場合
f(x+iy)=u+iv
とすると
u(x,y)=x^2+y^2
v(x,y)=2xy

u_x=2x
u_y=2y
v_x=2y
v_y=2x

u_x-v_y=0
だけれども
u_y+v_x=2y+2y=4y≠0
だから
f(x+iy)=x^2+y^2+i2xyは
正則でない

2
f(x+iy)=x^2-y^2+i2xy
とfを定義した場合
f(x+iy)=u+iv
とすると
u(x,y)=x^2-y^2
v(x,y)=2xy

u_x=2x
u_y=-2y
v_x=2y
v_y=2x

u_x-v_y=2x-2x=0
u_y+v_x=-2y+2y=0
だから
f(x+iy)=x^2-y^2+i2xyは正則

3
f(x+iy)=x^2+y^2-i2xy
とfを定義した場合
f(x+iy)=u+iv
とすると
u(x,y)=x^2+y^2
v(x,y)=-2xy

u_x=2x
u_y=2y
v_x=-2y
v_y=-2x

u_y+v_x=2y-2y=0
だけれども
u_x-v_y=2x+2x=4x≠0
だから
f(x+iy)=x^2+y^2-i2xyは正則でない

4
f(x+iy)=x^2-y^2-i2xy
とfを定義した場合
f(x+iy)=u+iv
とすると
u(x,y)=x^2-y^2
v(x,y)=-2xy

u_x=2x
u_y=-2y
v_x=-2y
v_y=-2x

u_x-v_y=2x+2x=4x≠0
u_y+v_x=-2y-2y=-4y≠0
だから
f(x+iy)=x^2-y^2-i2xyは正則でない