XをBanach空間、Yをノルム空間とする そして{Tα} α∈A⊂B(X,Y) B(X,Y)はXか

XをBanach空間、Yをノルム空間とする
そして{Tα} α∈A⊂B(X,Y)
B(X,Y)はXからYまでの有界線形演算子の族でAは任意の濃度を持つことができる添字集合とし、必ずしも可算ではないとする。この時
Bn ={x∈X| sup(α∈A)∥Tαx∥≦n}
について閉集合で凸であることを示してください。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/05 17:38

有界線形演算子

Tα
が
連続線形写像
であれば

||||_XをXのノルム
||||_YをYのノルム
とすると

F={y∈Y;||y||_Y≦n}はYの閉集合だから

閉集合Fの連続写像Tαの逆像
(Tα)^(-1)[F]
はXの閉集合となるから

Bn
={x∈X;sup(α∈A)||Tα(x)||_Y≦n}
=∩_{α∈A}{x∈X;||Tα(x)||_Y≦n}
=∩_{α∈A}(Tα)^(-1)[{y∈Y;||y||_Y≦n}]

は閉集合の共通部は閉だから閉になるけれども

Tα
が
連続線形写像
でなければ
いえません