不等式についてです
x^2-10x-24>0、(x+1)(x-a^2+a)<0が同時に成り立つようなxが存在しないとき、定数aの値の範囲を求める。という問題で、2つ目の不等式でx=-1、a^2-aと分かり2つの大小を比較するのにa^2-a=(a-1/2)^2-1/4>-1とありま
した。
2x^2-2mx-2m-5<x^2-mx-1を解けという問題では、
(x+2)(x-m-2)<0 x=-2、m+2で大小を比較するときは、m>-4のとき、m=-4のとき、m<ー4のときと場合分けをして解くのになぜ上の問題では大小比較する時に場合分けをしないのでしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
a^2-a=(a-1/2)^2-1/4 について。
2乗すればプラスになるから(0は2乗すれば0)
(a-1/2)^2はマイナスになることはない
つまり0以上
ゆえに、(a-1/2)^2)≧0
⇔(a-1/2)^2-1/4≧-1/4
したがってaの数値がいくつであっても (a-1/2)^2-1/4は-1/4以上であり -1より大きいことが確定しています
したがって -1のほうが大きいという場合はないので場合分けのしようがありません
一方、-2、m+2では m=-4のとき m+2=-4+2=-2で両者等しくなります
m=-3では m+2=-1で m+1のほうが-2よりも大きいです
m=-5では m+2=-3で -2のほうが大きいです
このように、-2とm+2の大小関係はm=-4を境に入れ替わるので
-2とm+2が等しいとき(m=-4のとき)
前者の方が小さい つまり-2<m+2(m>-4)のとき
前者の方が大きい つまり-2>m+2(m<-4)のとき
というケースに別れます
おのおののケースで 解が変わってくることがあり得るので別々に解を求めます
No.1
- 回答日時:
x=-1 , a²-a
-1と a²-a の大小関係の場合分けが必要です。
a²-a=(a-1/2)²-1/4
y=(a-1/2)²-1/4 とおいてグラフを考えると、頂点(1/2 ,-1/4) の下に凸の放物線です。
よって、yの最小値は頂点のy座標 -1/4 です。
つまり、yは常に-1より大きいということがわかります。
a²-a は、a の値にかかわらず常に-1より大きいということで、場合分けの必要がなくなります。
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