数学の問題です （k+7）x^2-2(k+4)x+2k=0が異なる2つの実数解をもつときのkの最小値

数学の問題です
（k+7）x^2-2(k+4)x+2k=0が異なる2つの実数解をもつときのkの最小値と最大値を求めよ。という問題で
D=(-2k-8)^2-4(k+7)×2k
=（k+8）（-4k+8）
D>0より
k<-8, 2<kとなったのですが、解答では-8<k<2となっていたのですが、なぜですか？

質問者からの補足コメント

• 解答は-8<k<2でk≠7であるから最小値は-6、最大値は2とかいてありました。説明不足ですみません＜(_ _)＞
  D=-4k^2-24k+64>0
  k^2+6k-16<0
  (k-2)(k+8)<0
  -8<k<2 となるのは理解できるのですが、-4k^2-24k+64を符号を変えずにたすき掛けすると（k+8)(-4k+8）>0となり、k<-8, 2<kと出てきます。なぜこれではダメなのでしょうか？

    補足日時：2020/06/03 00:08

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/03 10:17

No.1 です。

「問題がおかしい」のはさておき、「補足」に書かれた質問者さんの「不等式」の解き方の間違いについて。

＞（k+8)(-4k+8）>0となり、k<-8, 2<kと出てきます。なぜこれではダメなのでしょうか？

だって、そうなりませんよ。

「 (k+8)(-4k+8) > 0」ということは

(i) (k+8) > 0 かつ (-4k+8) > 0　（両方ともプラス）

または

(ii) (k+8) < 0 かつ (-4k+8) < 0　（両方ともマイナス）

のどちらかです。

(i) は、k > -8 かつ k < 2　ということで
　-8 < k < 2
です。

(ii) は、k < -8 かつ 2 < k ということですが、これを満たす k はありません。

ということで「-8 < k < 2」が不等式の解になりますね。


質問者さんは「不等式が正だったら、２つの根の外側」みたいに機械的に暗記していませんか？　その条件として「二次項の係数が正のとき」という条件を見落としていませんか？

(k+8)(-4k+8) は、展開すれば
　-4k^2 -24k + 64
なので、「二次項の係数」は「負」ですよね？
これを正にすると、不等号の向きが逆転しますよ。

(k+8)(-4k+8) > 0
→ 4(k + 8)(k - 2) < 0

No.3 回答者： springside 回答日時： 2020/06/02 09:14

これは明らかに問題がおかしい（作った人の頭が悪い）

単純にkの範囲を求めると、-8<k<-7, -7<k<2となり、kの最大値も最小値も存在しないので、
答は、「最大値も最小値も存在しない」となる。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/06/02 07:23

これ問題も解答もおかしい。

問題と解答を作った人に以下のことを指摘するべき。

[おかしい点]
・「2つの実数解のもつkの範囲を示せ」なら導出できるけど、kの最大値と最小値を示すことはできない。
・k=-7のとき、2次の係数が0になり、1次方程式となり解が1つになるので、除外しないといけない。

仮に問題が「2つの実数解のもつkの範囲を示せ」なら、

-8<k<-7, -7<k<2

が解答となる。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/02 01:00

D/4 = [-(k + 4)]^2 - 2k(k + 7)

　= k^2 + 8k + 16 - 2k^2 - 14k
　= -k^2 - 6k +16
　= -(k^2 + 6k - 16)
　= -(k + 8)(k - 2)

2つの実数解をもつので
　D/4 > 0
つまり
　-(k + 8)(k - 2) > 0
→　(k + 8)(k - 2) < 0　　　←不等号の向きが変わるよ！
よって
　-8 < k < 2