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Xをサイコロの目を表す確率変数とする。
サイコロは以下のように確率が歪んでいる。

Pr(X=1)=Pr(X=3)=Pr(X=5)=p1
Pr(X=2)=Pr(X=4)=Pr(X=6)=p2
3p1+3p2=1

ここで、p1=p2でなくてもよい。
このサイコロを独立にn回振った結果を{X1,…Xn}とする。

1) このデータに対する対数尤度関数をp1の関数として導出せよ。

2) p1の最尤推定量を求めよ。


どうかよろしくおねがいします!!

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A 回答 (1件)

>ここで、p1=p2でなくてもよい。



って、p1=p2だったら「理想的なサイコロ」ですよ。
p1≠p2 だから「歪んでいる」んでしょう?

1) サイコロで、確率 p の目が、n 回試行して r 回出る確率は「二項分布」に従うので
 P(n, r) = nCr * p^r * (1 - p)^(n - r)
です。

従って、サイコロの目が {X1, X2, ・・・, Xn}で起こる確率は、「奇数が x 回」のときには、

 L(p1;x) = nCx * (3p1)^x * (1 - 3p1)^(n - x)    ①

となります。これが尤度関数になります。

これから、対数尤度関数は
 log[L(p1;x)] = log(nCx) + x*log(3p1) + (n - x)*log(1 - 3p1)    ②


最尤推定量は、 L(p1;x) が最大になる p1 です。
①が極値をとるとき、②も極値をとるので、その必要条件は、
 d[logL]/d(p1) = x/p1 - 3(n - x)/(1 - 3p1) = 0
より
 x/p1 = 3(n - x)/(1 - 3p1)
→ x - 3x*p1 = 3n*p1 - 3x*p1
→ p1 = x/(3n)
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