大学数学の極限の問題について lim【x→＋0】(1/x -1/sinx )の極限はどのように求める

大学数学の極限の問題について

lim【x→＋0】(1/x -1/sinx )の極限はどのように求めることができますか？ロピタルの定理を用いて、途中式も含めて教えていただけると嬉しいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/05 01:51

ロピタルみたいなギミックは、最終的に勉強しないでも済んでしまうし、

テイラー展開は、解析の基本的な道具なんだけどな。偏ってるねえ。

ロピタルは、0/0型の不定形を計算する小技なので、まず通分して
1/x - 1/sin x = { (sin x) - x }/{ x sin x } とする。
右辺の分子分母がともに x→0 で →0 となるから、ロピタルが使えるかもしれない。
(分子)’ = (cos x) - 1 → 0, (分母)’ = (sin x) + x(cos x) → 0 で
再び0/0型の不定形だから、再度ロピタルが使えるかもしれない。
(分子)’’ = - sin x → 0, (分母)’’ = (cos x) + (cos x) + x(- sin x) → 2 ≠ 0 なので、
二度目のロピタルが使えることが判り、よって一度目のロピタルも使えることが判る。

以上をまとめると、
lim{ 1/x - 1/sin x } = lim{ (sin x) - x }/{ x sin x } = lim{ (sin x) - x }’/{ x sin x }’
= lim{ (cos x) - 1 }/{ (sin x) + x(cos x) } = lim{ (cos x) - 1 }’/{ (sin x) + x(cos x) }’
= lim{ - sin x }/{ 2(cos x) - x(sin x) } = { -0 }/{ 2・1 - 0・0 } = 0.
このズラズラ並んだイコールの、右のほうの値が判るまで
そもそも左のほうのイコールが成り立つかどうか判らない
というのが、ロピタルのどうにもキモチワルイところで、好きになれないな。

この回答へのお礼

テイラー展開のほうが基本的なんですね。
自分の学校では、ロピタルの定理しか教わらなかったので…。わかりやすく回答してくださりありがとうございました。とても助かりました！

お礼日時：2020/06/05 02:10

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/05 01:29

これ↓です。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11683749.html

なぜ、ロピタルを使いたいの？

この回答へのお礼

テイラー展開はまだ習ってないからです…。

お礼日時：2020/06/05 01:37