命題P,Qについて 命題[P→Q]を考える Pが偽のとき、P→Qは偽ですが、これは定義、公理ですか？

命題P,Qについて
命題[P→Q]を考える
Pが偽のとき、P→Qは偽ですが、これは定義、公理ですか？それとも別の定義、公理から導かれますか？

また、P→Q と　P→Qが成り立つ　は区別した方が良いと思うのですが、区別したい場合、一般的には前者を何と書き、後者を何と書くのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• P→Qは真でした
  誤字です

    補足日時：2020/06/05 10:47

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/06/05 02:21

普通 P が偽のときには P→Q は真とするものだが, あなたのところでは違うのかな? まあ定義次第だからどっちでもいいけど, 「

とき P→Q は偽」とするのは (少なくとも) 一般的ではない, ということは認識した方がいいだろうね.

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/05 02:25

定義とは、いくつかの公理の組のことなので、

→ に限らず、これは定義ですか？、公理ですか？ と問うことには意味が無いように思います。
また、定義には同値な定義というものがあり、
そのどちらが定義でどちらがどちらが導かれたもの(定理)かは、どちらを定義として採用したか
流儀によって異なります。 定義ですか？定理ですか？にも、あまり意味は無いようです。
あなたの読んでいる本は、→ をどのように定義していましたか？

一般に命題 S について、「Sが成り立つ」を ├S と書くことがあります。
「P→Qが成り立つ」なら ├(P→Q) でしょうか。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/05 10:32

Pが偽のとき、P→Qは真

です

例えば
A,Bを集合とする

x∈A→x∈Bが成り立つ(真)のとき
A⊂Bが成り立つ(真)と定義する

空集合をφ
Aを任意の集合
P=(x∈φ)
Q=(x∈A)
とすると
P(x∈φ)は偽だから
P→Q
x∈φ→x∈A
は
真となるから
任意の集合Aに対して
φ⊂A
が
成り立つ(真)