何で√2はm/nと表せるのですか？また、なぜmの二乗とnの二乗は偶数になるのですか？

何で√2はm/nと表せるのですか？また、なぜmの二乗とnの二乗は偶数になるのですか？

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2020/06/10 20:59

＞何で√2はm/nと表せるのですか？

最初に「√2 が無理数でないとすると、√2 は有理数である」と書いてありますね。
有理数ならば、分数で書き表すことが出来る筈です。

＞なぜmの二乗とnの二乗は偶数になるのですか？

2n²=m² となりますから、左辺は 必ず偶数になりますから、
右辺も偶数である筈です。
二乗して偶数になるのは 偶数しかありませんから m² は 4の倍数になる筈で、
左辺の n も偶数になる筈です。

この様に 考えを進めていき、「√2 が無理数でないとする」ことが、
間違いであることを 導き出す 証明方法を 背理法 と云います。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/10 15:29

「√2 = m/n と表すことができる。

」の部分だけ切り取ると、
文章の意味を見誤ります。
それじゃ、まるで √2 が有理数みたいじゃありませんか。
その文にはまだ前があって、
「√2 が無理数でないと仮定すると 〜 √2 = m/n と表すことができる。」
とつながっています。√2 が実際に m/n と表されるのではなく、
√2 が無理数でないという仮定の下では m/n と表されるということになる
という話です。無理数でなければ、有理数なのだから分数で書けますね。

そうやって √2 が無理数でないという仮定から何が導けるかを
いろいろ進めていって、ありえないような結論が出てきたら、
√2 が無理数だと仮定なんかしたからこんな変なことになったよね、
仮定が間違っているよね、と結論するのが「背理法」という手法です。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/10 10:53

何で√2はm/nと表せるのですか？

＞＞＞
本来はm/n=有理数/有理数＝有理数　なので
√2=m/n(⇔無理数＝有理数）と表すことは出来ません
そこで、無理やり√2=m/nとおいてみて矛盾をあぶりだしてやろうというのが模範解答の意図です
矛盾を示して、その原因は√2=m/n（√2=有理数）と仮定したことにある、だからこの仮定は間違いだ→正しくは√２＝無理数だ
という論法で証明しようということなのです（仮定の矛盾を示して、正しくは○○だという証明の仕方を「背理法」と言います）

なぜmの二乗とnの二乗は偶数になるのですか？
＞＞＞
√2=m/nだとすると　両辺ｎ倍して　√2n=m
両辺2乗で、　2n²=m²⇔m²=2n²=2x自然数の2乗
自然数の2乗＝整数で　２x整数は必ず偶数になるので
m²(2x自然数の2乗)は偶数になります

ｍ²が偶数ならばｍも偶数だから(2x2=4 3x3=9 4x4=16 5x5=25 ・・・　ゆえに　自然数の2乗で偶数となるものは　偶数ｘ偶数　
2乗が奇数となるものは　奇数x奇数　だとわかります　
m²=mxmが偶数ということは　偶数x偶数のパターンに該当するので　ｍは偶数）
m=2x整数=2kとおくことができるから
先ほど変形した2n²=m²に　m=2kを代入すれば
2n²=(2k)²＝4k²です
両辺２で割れば
n²=2k²=2x自然数の2乗＝2x整数ですから
先ほどと同じように考えて　n²も偶数であることになります

No.2 回答者： ほい3 回答日時： 2020/06/10 09:42

＞何で√2はm/nと表せるのですか？

無理数の定義は『整数の比で表せない実数』で、『分数で表せない実数』とも言えます。
https://sugaku.fun/rational-number-irrational-nu …

なので、仮定の条件下でm/nで表せるはずと、進んでいます。

＞mの二乗とnの二乗は偶数になるのですか？
２ｎ²＝ｍ²　の場合、左辺に２ｘと2倍があるので、ｍ²は偶数です。
（偶数は-2，0，２，４，６，８と、2で割り切れて余りの出ないものです。）

なのでｍ²＝２ｘｋで表せるはず。代入で２ｎ²＝２²ｘｋ²を得て両辺を
2で割ると、ｎ²＝２ｘｋ²　、なのでｎ²も偶数。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/06/10 09:25

背理法ね

もし√2が有理数であるなら、√2はm/n（お互いに素であるｍ、ｎ）という形で書くことができるはずだ。

そうであれば、両辺を二乗すればm²/n²=2 になるはずだ、

そうであれば、ｍは2の倍数であり2ｋと置くことができる

であれば、4ｋ²＝2ｎ²となり、　2ｋ²＝ｎ²となる。

そうであればnは2の倍数になる

でも、ｍ、ｎはお互いに素であるはずなので、何かおかしい。

前提条件である√2が有理数であるのは間違いだ

って話ね。
（説明文と大して変わらないけど）