複素数 グラフについて

https://atarimae.biz/archives/500
このサイトによると、複素数のグラフにiをかけると90度回転するとなっていますが、
45度回転させるには何をかければ良いのでしょうか、教えてください。
iをかけると90度なので√iなのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/12 23:30

見るとびっくりするけど、「オイラーの公式」というのがあるんですよ。

　e^(ix) = cos(x) + i･sin(x)

という式です。

詳しくは、こんなところ。
　↓
https://www.ice.tohtech.ac.jp/nakagawa/euler/eul …
https://mathmath.xyz/blog20170526/

これを使うと「i をかける」と

　i･e^(ix) = i･cos(x) + i^2･sin(x) = -sin(x) + i･cos(x)　　　　①

になります。
これと、x → x + 90° にした

　e^i(x + 90°) = cos(x + 90°) + i･sin(x + 90°)
　　　　　　　 = cos(x)cos(90°) - sin(x)sin(90°) + i[sin(x)cos(90°) + cos(x)sin(90°)]
　　　　　　　 = -sin(x) + i･cos(x)　　　　②

という結果が同じになるので、「i をかけた」①と、「+90° にした」②とが同じ結果になります。

では「45度回転させる」ということは、x → x + 45° ということですから、

　　e^i(x + 45°) = cos(x + 45°) + i･sin(x + 45°)
　　　　　　　 = cos(x)cos(45°) - sin(x)sin(45°) + i[sin(x)cos(45°) + cos(x)sin(45°)]
　　　　　　　 = (1/√2){ cos(x) - sin(x) + i[sin(x) + cos(x)]
　　　　　　　 = (1/√2)[ cos(x) + i･sin(x) ] + (1/√2)[ -sin(x) + i･cos(x) ]
　　　　　　　 = (1/√2)[ cos(x) + i･sin(x) ] + (1/√2)i[ cos(x) + i･sin(x) ]
　　　　　　　 = [(1 + i)/√2][ cos(x) + i･sin(x) ]

ということで、「(1 + i)/√2 をかける」ということになります。
これは
　(1 + i)/√2 = cos(45°) + i･sin(45°)
ということなのです。

「90度回転する」のが「i をかける」なのは
　cos(90°) + i･sin(90°) = i
をかけるということです。

つまり、「θ 度回転する」ためには
　cos(θ) + i･sin(θ)
をかければよいことになります。

不思議ですね。でもそうなるのです。数学は美しいのですね。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/06/12 23:37

√i といえば √i だけど, (0 でない) 全ての複素数には 2個の平方根があって「√」という記号でどちらを表すのかは一般に決

.

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/06/12 23:07

掛けると90°回転させる複素数は、

cos90° + i sn90°= i

掛けると45°回転させる複素数は、
cos45° + i sn45°=(√2/2 )+ (√2/2 ) i