https://atarimae.biz/archives/500
このサイトによると、複素数のグラフにiをかけると90度回転するとなっていますが、
45度回転させるには何をかければ良いのでしょうか、教えてください。
iをかけると90度なので√iなのでしょうか。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
見るとびっくりするけど、「オイラーの公式」というのがあるんですよ。
e^(ix) = cos(x) + i・sin(x)
という式です。
詳しくは、こんなところ。
↓
https://www.ice.tohtech.ac.jp/nakagawa/euler/eul …
https://mathmath.xyz/blog20170526/
これを使うと「i をかける」と
i・e^(ix) = i・cos(x) + i^2・sin(x) = -sin(x) + i・cos(x) ①
になります。
これと、x → x + 90° にした
e^i(x + 90°) = cos(x + 90°) + i・sin(x + 90°)
= cos(x)cos(90°) - sin(x)sin(90°) + i[sin(x)cos(90°) + cos(x)sin(90°)]
= -sin(x) + i・cos(x) ②
という結果が同じになるので、「i をかけた」①と、「+90° にした」②とが同じ結果になります。
では「45度回転させる」ということは、x → x + 45° ということですから、
e^i(x + 45°) = cos(x + 45°) + i・sin(x + 45°)
= cos(x)cos(45°) - sin(x)sin(45°) + i[sin(x)cos(45°) + cos(x)sin(45°)]
= (1/√2){ cos(x) - sin(x) + i[sin(x) + cos(x)]
= (1/√2)[ cos(x) + i・sin(x) ] + (1/√2)[ -sin(x) + i・cos(x) ]
= (1/√2)[ cos(x) + i・sin(x) ] + (1/√2)i[ cos(x) + i・sin(x) ]
= [(1 + i)/√2][ cos(x) + i・sin(x) ]
ということで、「(1 + i)/√2 をかける」ということになります。
これは
(1 + i)/√2 = cos(45°) + i・sin(45°)
ということなのです。
「90度回転する」のが「i をかける」なのは
cos(90°) + i・sin(90°) = i
をかけるということです。
つまり、「θ 度回転する」ためには
cos(θ) + i・sin(θ)
をかければよいことになります。
不思議ですね。でもそうなるのです。数学は美しいのですね。
No.1
- 回答日時:
掛けると90°回転させる複素数は、
cos90° + i sn90°= i
掛けると45°回転させる複素数は、
cos45° + i sn45°=(√2/2 )+ (√2/2 ) i
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