u=y(x)に関して、
I=∫F(x,u,u')dx
で表される凡関数が極大または極小となるためには、次式が成り立たなければならない。
d/dx(aF/au')-aF/au=0
a:パーシャル、
(Eulerの微分方程式)

(1)x,y平面上の2点:P1(x1,y1),P2(y1,y2)を結ぶ最短の曲線が直線になることを証明せよ.
(2)P1、P2を結ぶ曲線で、これをx軸のまわりに回転してできる曲面の表面積が最小になるような曲線を求めたい。この曲線を表す微分方程式が、
y/(√(1+y'^2))=一定
となることを示せ。

ほとんどわからないので、できるだけ詳細にお願いします。片方だけでもかまいませんので...。

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A 回答 (4件)

siegmund です.



blue_monkey さんのご回答は変分法の標準的手続きに沿ったものですが,
(1)の問題の場合は式の形から答が簡単にわかります.

まず,題意からして座標軸の選び方には関係がないですから,
P1,P2 の代わりに
Q1(0,0),Q2(X,0) としても一般性を失いません.
あるいは,適当に座標軸を回転と平行移動したと思ってもOKです.

Q1,Q2 間の曲線 y = f(x) の長さは guiter さんが書かれておられるように
L=∫(0~X) √{1 + (df/dx)^2} dx
です.
被積分関数は常に正ですから,
もし積分範囲内で至る所 df/dx = 0 となるようにできれば,
Lが最小値を取ることは自明です.
Q1,Q2 を結ぶ直線は df/dx = 0 ですから,実際にそのように選ぶことは可能です.
したがって,2点を結ぶ曲線のうち長さが最小のものは直線です.

もとの P1,P2 のままやりますと,
常に df/dx = 0 とは選べないので
(y1≠y2 なら P1,P2 の両方を通るようにはならない),
上のように簡単にはできません.
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この回答へのお礼

やったらできました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/08/18 10:02

blue_monkeyです。

とりあえず(1)の問題について考えます。
(回答No1,No2を参照して下さい。)
固定点p1,p2を通る曲線の集合を考えます。この集合に属する曲線の弧長dsを用いてこの曲線の長さは


Q[y]=∫ds=∫(1+(dy/dx)^2)^(0.5)dx      (1)


曲線の長さを最小にする曲線yから少しずれた曲線を考えます(距離はユークリッド計量で与えられているものとします。gij=δij。)。

y+δy

ここで、δyは点p1,p2で0。

δQ[y]=Q[y+δy]-Q[y]

=∫(1+[d/dx(y+δy)]^2)^0.5-(1+[d/dx(y)]^2)^0.5 dx

                               (2)

(2)式で偏分δyの一次項までを考えると、yが極値(停留値)をとるので、下記の積分値は0となります

=∫(1+[d/dx(y)]^2)^(-0.5)*[d/dx(y)]*[d/dx(δy)]dx


   =(1+[d/dx(y)]^2)^(-0.5)*[d/dx(y)]*(δy)


-∫(δy)*d/dx{(1+[d/dx(y)]^2)^(-0.5)*[d/dx(y)]}dx

ここで、偏分δyが点p1及びp2で0になるので第1項は0となります。


   =-∫(δy)*d/dx{(1+[d/dx(y)]^2)^(-0.5)*[d/dx(y)]}dx

  偏分δyは任意の値をとりますので、上記の積分値が0となるためには、
  被積分関数が0となる必要がります。

  よって

  d/dx{(1+[d/dx(y)]^2)^(-0.5)*[d/dx(y)]}=0     (3)

  という微分方程式が得られます。
  (3)式を積分すると

  {(1+[d/dx(y)]^2)^(-0.5)*[d/dx(y)]}=k       (4)

  ここでkは定数。(4)式を(d/dx)yについて解くと


  [(d/dx)y]^2=k*k/(1-k*k)

ここでk≠±1とすると、

  (d/dx)y=±(k*k/(1-k*k))^0.5 (5)

(5)式を積分すると

y=±(k*k/(1-k*k))^0.5*x+c

  (ここでcは積分定数。)

   と言う直線の式が得られます。

  実際に求められた、直線の式が、停留値となっていますが、極小か極大か、
  不明であり、これを確認するためには、停留値の周りでδyの2次の近似を
  おこない、δyについてのδQ[y]の変化の具合を調べる必要があります。
  (この部分の計算は、手抜きさせていただきます。2点を固定した糸を
   ピ~ンと両端をひっぱりゃ、長さを最小にする曲線は直線になること
   がすぐに予想がつくのですがぁ~。計算を地道にやらないとだめなん
   ですよねぇ~。)


以上


誤記、誤計算、間違いがあったらゴメンナサイ。
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少なくとも(1)は変分法のテキストならまず,必ずと言っていいほど


載っている例題です.
まずは,変分法のテキストを読まれるようにおすすめします.
(2)もよく例題にある問題です.

単なるミスタイプかとも思いますが,
○ 凡関数 ⇒ 汎関数
○ 偏微分は JIS に記号∂がありますよ.
○ P2(y1,y2) ⇒ P2(x2,y2) ?
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2001/08/18 10:05

(1)のヒントです。



P1、P2が曲線 u=y(x) で結ばれているとします。
このとき、この曲線の x=x1 から x=x2 までの長さは
 L=∫(x1~x2) √{1 + (dy/dx)^2} dx
  =∫(x1~x2) √{1 + (u')^2} dx
と表すことが出来ます。
このLが極小となる条件を考えましょう。

(2)のほうもまずは曲面の表面積を式で表してみてください。
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という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
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だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

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>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
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あとは定義にしたがって,
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y=kx-9k+3
から先に進めません。
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(y-3)/(x-9)=k
とおくと
(y-3)=k(x-9) は、(9,3)を通る直線
この直線が半円と共有点を持つときの傾きkの範囲を求めるということ。
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「最小値は直線と原点の距離が6」という条件でやったらいいと思います。

QP(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

P(x,y)dx+Q(x,y)dy
=(4x^3 y + 2x^2 y^2 + 4y^3 x + 2y^4)dx+(2x^4 + 4x^3 y + 2x^2 y + 4xy^3)dy
=0
の解き方を教えてください
dz=∂f/∂x + ∂f/∂yを利用してみましたが上手くいきませんでした

Aベストアンサー

同次形微分方程式ですね。

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 を変形して、
dy/dx = -P(x,y)/Q(x,y)
= -(4x^3 y + 2x^2 y^2 + 4y^3 x + 2y^4)/(2x^4 + 4x^3 y + 2x^2 y + 4xy^3)
= -{4(y/x) + 2(y/x)^2 + 4(y/x)^3 + 2(y/x)^4}/{2 + 4(y/x) + 2(y/x)^2 + 4(y/x)^3}
= -(y/x){2 + (y/x)}/{1 + 2(y/x)}
です。

u = y/x と置くと、
x(du/dx) + u = -u(2u+1)/(1+2u).

変数分離形ですから、
∫du/{-u(2u+1)/(1+2u) - u} = ∫dx/x
と解けます。

左辺 = (-1/3)∫(1+2u)/{u(u+1)}du
= (-1/3)∫{1/u + 1/(u+1)}du
= (-1/3) log{u(u+1)} + (定数),

右辺 = (log x) + (定数)

より、{u(u+1)}^(-1/3) = Ax. (Aは定数)
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同次形微分方程式ですね。

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 を変形して、
dy/dx = -P(x,y)/Q(x,y)
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= -(y/x){2 + (y/x)}/{1 + 2(y/x)}
です。

u = y/x と置くと、
x(du/dx) + u = -u(2u+1)/(1+2u).

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で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
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[2の解]
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どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

Aベストアンサー

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 それから計算されたa,b,c でx+y=1を満たすすべてのx,yで成り立つかどうかを確認するという手順でどうでしょうか?

Q(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dyの成立条件

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そこで、
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Aベストアンサー

積分と微分の順序交換については
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ただし,十分条件は知られています.

リーマン積分の範囲だと
f(x,y)が連続で,f_y(x,y)も連続くらいの条件があれば
d/dy∫f(x,y)dx = ∫f_y(x,y)dx
くらいがいえるはずです.
#積分区間とかは省きます.

その十分条件で一番便利だろうと思われるものは
ルベーク積分の言葉で記述されます.
興味があれば,「ルベーク積分」の本を
追いかけてください.
・ルベークの有界収束性定理
・L^1空間
というようなものが理解できれば,順序交換の定理は理解できます.


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