dy/dx=xy-x/y の微分方程式の解き方を教えてください

dy/dx=xy-x/y
の微分方程式の解き方を教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/15 20:09

No.1 です。

#1 に書いたとおり

　dy/dx = x(y - 1/y)

→　∫[1/(y - 1/y)]dy = ∫xdx　　　　①

左辺は
　∫[1/(y - 1/y)]dy = ∫[y/(y^2 - 1)]dy　　　②

y^2 - 1 = u とおけば、これを u で微分すれば
　2y(dy/du) = 1
→　dy/du = 1/(2y)
なので

② = ∫[y/u](dy/du)du = (1/2)∫[1/u]du = (1/2)log|u| + C = (1/2)log|y^2 - 1| + C　（C：積分定数）

なので①は
　(1/2)log|y^2 - 1| = (1/2)x^2 + C1　（C1：積分定数）
→　log|y^2 - 1| = x^2 + C2　　　　　（C2 = 2C1）
→　y^2 - 1 = e^(x^2 + C2) = Ce^(x^2)
→　y^2 = Ce^(x^2) + 1

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/14 15:56

xy - x/y = x(y - 1/y)

で変数分離できるよね？