この問題の解き方を教えてください！

長さ１の１本の紐（線分）の2 箇所に無作為に印をつけ、それらの位置で切断して３本に分け，それら３本の線分の長さに関して考えたい．
• ２つの切断点の位置を紐の左端からの距離で表し，各々X, Y , と置き，
• X, Y は独立で，各々[0, 1] 上の一様分布に従う（のでどちらが大きいか不明），
とした場合の

(i) 真ん中の線分の長さ（確率変数|X − Y |）の期待値を求めよ．
(ii)「３本の線分が三角形を構成する」確率を求めよ．

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/14 22:26

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11705406.html のNo.1さんが教えているように、
分布関数で考えるといい。
|X − Y| ≦ t となる事象は、XY平面に図示してみると、
0 ≦ X ≦ 1, 0 ≦ Y ≦ 1 の正方形の中で、右上がりの対角線に幅を持たせた帯状の領域
であると判る。その図形の面積が |X − Y| ≦ t となる確率だが、面積は
正方形の面積から左上と右下の直角二等辺三角形の面積を引けばいいから、
1 - { (1/2)(1-t)^2 }・2 である。 これが |X − Y| の分布関数だから
ｔ で微分すれば |X − Y| の確率密度関数になる。 (d/dt){ 2t - t^2 } = 2(1 - t).
期待値は、期待値の定義どおりに計算して、∫[0,1] t・2(1 - t) dt = 1/3.

３本の線分が三角形を構成するのは、
X ≦ Y の場合は、
３本の線分が X, Y-X, 1-Y だから
三角不等式
X ≦ (Y-X) + (1-Y),
Y-X ≦ (1-Y) + X,
1-Y ≦ X + (Y-X).
が条件。整理すると、この領域は
Y ≧ 1/2, Y - 1/2 ≦ X ≦ Y の平行四辺形だと判るので、
その面積は 1/4.
X > Y の場合も同様に、面積は 1/4.
三角形ができるという事象は、その両方を合併したものだから、
確率は 1/4 + 1/4 = 1/2.

この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございます！！

お礼日時：2020/06/15 00:43

No.1 回答者： ほい3 回答日時： 2020/06/14 17:26

1か所切っての期待値は1/2、なので2か所切る場合1/3　と思う。

試験なら、と思うは書けないが＾＾；

「３本の線分が三角形を構成する」には、1本目が半分超で不可能
１本目が半分超は1/2なので、1/2　と思う。

どうでしょうか。