No.2ベストアンサー
- 回答日時:
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11705406.html のNo.1さんが教えているように、
分布関数で考えるといい。
|X − Y| ≦ t となる事象は、XY平面に図示してみると、
0 ≦ X ≦ 1, 0 ≦ Y ≦ 1 の正方形の中で、右上がりの対角線に幅を持たせた帯状の領域
であると判る。その図形の面積が |X − Y| ≦ t となる確率だが、面積は
正方形の面積から左上と右下の直角二等辺三角形の面積を引けばいいから、
1 - { (1/2)(1-t)^2 }・2 である。 これが |X − Y| の分布関数だから
t で微分すれば |X − Y| の確率密度関数になる。 (d/dt){ 2t - t^2 } = 2(1 - t).
期待値は、期待値の定義どおりに計算して、∫[0,1] t・2(1 - t) dt = 1/3.
3本の線分が三角形を構成するのは、
X ≦ Y の場合は、
3本の線分が X, Y-X, 1-Y だから
三角不等式
X ≦ (Y-X) + (1-Y),
Y-X ≦ (1-Y) + X,
1-Y ≦ X + (Y-X).
が条件。整理すると、この領域は
Y ≧ 1/2, Y - 1/2 ≦ X ≦ Y の平行四辺形だと判るので、
その面積は 1/4.
X > Y の場合も同様に、面積は 1/4.
三角形ができるという事象は、その両方を合併したものだから、
確率は 1/4 + 1/4 = 1/2.
分布関数で考えるといい。
|X − Y| ≦ t となる事象は、XY平面に図示してみると、
0 ≦ X ≦ 1, 0 ≦ Y ≦ 1 の正方形の中で、右上がりの対角線に幅を持たせた帯状の領域
であると判る。その図形の面積が |X − Y| ≦ t となる確率だが、面積は
正方形の面積から左上と右下の直角二等辺三角形の面積を引けばいいから、
1 - { (1/2)(1-t)^2 }・2 である。 これが |X − Y| の分布関数だから
t で微分すれば |X − Y| の確率密度関数になる。 (d/dt){ 2t - t^2 } = 2(1 - t).
期待値は、期待値の定義どおりに計算して、∫[0,1] t・2(1 - t) dt = 1/3.
3本の線分が三角形を構成するのは、
X ≦ Y の場合は、
3本の線分が X, Y-X, 1-Y だから
三角不等式
X ≦ (Y-X) + (1-Y),
Y-X ≦ (1-Y) + X,
1-Y ≦ X + (Y-X).
が条件。整理すると、この領域は
Y ≧ 1/2, Y - 1/2 ≦ X ≦ Y の平行四辺形だと判るので、
その面積は 1/4.
X > Y の場合も同様に、面積は 1/4.
三角形ができるという事象は、その両方を合併したものだから、
確率は 1/4 + 1/4 = 1/2.
No.1
- 回答日時:
1か所切っての期待値は1/2、なので2か所切る場合1/3 と思う。
試験なら、と思うは書けないが^^;
「3本の線分が三角形を構成する」には、1本目が半分超で不可能
1本目が半分超は1/2なので、1/2 と思う。
どうでしょうか。
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