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この式の意味を教えてください。また、弧長s(t)を質点の運動を特徴付ける諸量で表すとしたらどのように表しますか?説明をお願いします。

「この式の意味を教えてください。また、弧長」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • (あ)で示される式ですが、∫dt’ となっており、その後弧長の微分になっています。これはどのようなことを意味してるのですか?

      補足日時:2020/06/16 01:03
  • (あ)式で与えられているdt’の意味としては「tが微分されたものを積分変数として扱う」という解釈で大丈夫ですか?積分の形が一般的なものと違うので困惑しています。

      補足日時:2020/06/16 02:39
  • 0〜tまでの積分と、弧長の微分がそれぞれ独立している理由は何でしょうか?弧長の微分が積分の中に含まれているというわけではなさそうですし、経路が含まれていないのに積分する意味はあるのでしょうか?

      補足日時:2020/06/16 11:17
  • 質問の仕方が少し変でしたね。dt’の後にある弧長の微分は積分に含んでしまっても良いのですか?計算後の結果を見ると含んでいるようには見えません。∫[0~t]の積分とS(t)を微分した結果の積で表されているように見えます。dt’の後の部分を積分に含んで良いのでしょうか?

      補足日時:2020/06/16 18:42

A 回答 (6件)

>この式の意味を教えてください。

また、弧長s(t)を質点の運動を特徴付ける諸量で表すとしたらどのように表しますか?

質問の意味が判然としませんが・・・

これは運動を時間 を媒介変数として表している式ですよね。

弧長の求め方はその通りです。t の変化 dt に対する 弧長(曲線の起点からの長さ)の変化が ds
とすれば
∫[t'=0~t]|(ds/dt)|dt が弧長です。
絶対値が有るのは、弧長が常に正であることと曲線上を点が行ったり来たりするケースが有るからです。 

弧長表示に直すには(媒介変数を弧長に変更するには)
この場合、t を s/c に置き換えるだけでよろしいです。

曲線を弧長表示に書き直すのは微分幾何の一番基本で
弧長表示だと曲率とかをシンプルに算出できます。

この形式を足場に基本を学び、後で他の形式も学ぶことになります。
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>質問の仕方が少し変でしたね。

dt’の後にある弧長の微分は積分に含んでしまっても良いのですか?計算後の結果を見ると含んでいるようには見えません。∫[0~t]の積分とS(t)を微分した結果の積で表されているように見えます。dt’の後の部分を積分に含んで良いのでしょうか?<

全く意味不明ですが、s=∫[τ=0,t] |ζ'|dτ は#2にも書いたように、弧長の定義ですから、この式の
疑問は意味不明。

なお、s=∫[τ=0,t] dτ|ζ'| という書き方の順序を言っているなら、単なる積分表記の1つです。
こういう書き方もタマーにある、ということです。
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この回答へのお礼

たびたびの回答ありがとうございます。このような積分表記に慣れていないため困惑していました。ありがとうございます。

お礼日時:2020/06/16 19:55

>0〜tまでの積分と、弧長の微分がそれぞれ独立している理由は何でしょうか?


「独立」の意味が、よくわかりませんが

弧長は
s=∫|ds|
ですよね?
これを変数変換して
s=∫|ds/dt|dt
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No.1 です。

「補足」に書かれたことについて。

>(あ)で示される式ですが、∫dt’ となっており、その後弧長の微分になっています。これはどのようなことを意味してるのですか?

単に、「0~t までで積分する」(その瞬間間の t を積分範囲の上限として時間積分)ために、変数名を変えているだけです。別に u とか p にしてもよかったのでしょうね。
「t の微分」ということではありません。あくまで「時間ですよ」という意味で「t'」にしたのでしょうね。

>(あ)式で与えられているdt’の意味としては「tが微分されたものを積分変数として扱う」という解釈で大丈夫ですか?積分の形が一般的なものと違うので困惑しています。

いいえ。単に「t を別の変数名に置き換えている」というだけです。
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s=(√(a²+b²))t (s(0)=0 として) ですから、質点の運動の速度<v>は質点の位置ベクトルを


<ζ>=<x,y,z> とすると、
<v>=<ζ>'=<x',y',z'>=<-a sin t, a cos t, b>
である。ここで「'」は時間微分。

すると、質点の速さは
v=|<v>|=√(a²+b²)
となる。

つまり、「弧長s(t)を質点の運動を特徴付ける諸量で表すと」
s=vt
となる。

「補足」の意味不明だが、曲線ζの弧長は定義から
s=∫[τ=0,t] |ζ'|dτ=(√(a²+b²))t
である。t'は微分と紛らわしいのでτとした。弧長の微小変化 dsはsを微分して
ds=(√(a²+b²))dt
となる。
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曲線は、x-y 平面への投射では「円運動」で、z 方向には一定速さで運動していますから、「らせん運動」ですね。



この「弧長」といっている「あ」は、x-y 平面に投射した「円運動」で時間とともに進む「弧の長さ」ですね。0~t に進む弧の長さ。
c = √(x^2 + y^2) は円運動の「半径」であることは分かりますか?
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