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平均値±標準偏差の範囲に入る係数が68.3%であること確認するにはどうしたら良いか教えてほしいです

教えて!goo グレード

A 回答 (5件)

それには、まず分布が正規分布であることを「確認」しなければなりません。


一般の確率分布については、そんなことは成立しません。

正規分布であることが確認できたら、あとはただの計算です。
S = ∫[μ-σ,μ+σ] { 1/(σ√(2π)) } e^{ -(x-μ)^2/(2σ^2) } dx の値を
求めればよいのですが、あまり簡単ではありませんね。
z = (x-μ)/σ で置換すれば
S = { 1/√(2π) } ∫[-1,1] e^(-z^2/2) dz とは整理できますが、
そこから先は手詰まりです。

おそらく数値計算で近似値を求めるしかないでしょう。
指数関数をマクローリン展開して
e^(-z^2/2) = Σ[k=0..∞] (1/k!)(-z^2/2)^k から
∫[-1,1] e^(-z^2/2) dz = ∫[-1,1]{ Σ[k=0..∞] (1/k!)(-1/2)^k z^(2k) }dz
= Σ[k=0..∞] (1/k!)(-1/2)^k ∫[-1,1] z^(2k) dz
= Σ[k=0..∞] (1/k!)(-1/2)^k { 1/(2k+1) }{ 1^(2k+1) - (-1)^(2k+1) }
= 2 Σ[k=0..∞] (-1)^k /{ (k!)(2^k)(2k+1) }
この Σ を適当なところで打ち切って
S ≒ { √(2/π) } Σ[k=0..n] (-1)^k /{ (k!)(2^k)(2k+1) }
を計算すればよいかな。
n ≧ 4 くらいで S ≒ 0.683 になります。
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「確認」したいの?



それなら、ただ単に、1/√(2π) ∫[-1→1]e^(-x²/2)dx≒0.68268949…≒68.3%というだけのこと。
難しい要素は全くなし。
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統計では有名な正規分布の事象ですが、現実世界では試験の点数、ヒトの五感の性能など正規分布になる事象は多くないデス。



試験の点数で平均値±標準偏差の範囲に入るのが約70%ということは、平均点より上だったや下だったと一喜一憂しても、しょせんは約7割の普通の人にすぎないということを示しています。これを深掘りすると、残り15%のうち2σ以内の高得点は秀才に過ぎず、3σを超えるような並外れて優秀な人はほんのわずかしかいない、ということになります。

五感の場合は、少し違っていてその差はわずかなんですが、-σとσの差は非常に大きいと言えると思います。σを超える人たちが天才職人や天才シェフや芸術家やアスリートになる可能性を秘めているのではないかと思います。
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下記に書いてある「正規分布の確率密度関数」を -σ~σ (σ は標準偏差)で積分してください、その値になるはずです。


高校生、ないしは「ちょっと勉強した」程度の大学生には手に負えません。

↓ 正規分布
https://bellcurve.jp/statistics/course/7797.html
https://mathtrain.jp/gaussdistribution

通常は、いちいちこんな関数は扱えないので、下記のような「標準正規分布表」(平均を 0、標準偏差を 1 に規格化した正規分布)に書かれた「計算結果」を利用します。
Z=1.00 の値を読み取って(それが 0~σ に相当します)、それを2倍してください。

↓ 標準正規分布表
https://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_nor …
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標準分布の確率分布関数f(x)=e^(-1/x^2)/√(2π)を


xを-1から1の区間で積分すると0.682...となるということですが、、、
ま、そういうことだと覚えておけばよいでしょう。
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