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2次関数の問題です
実数x、yが19x^2+6xy+11y^2=1を満たしながら動くとき、x^2+y^2の最大値、最小値、およびそれらを与えるx、yの値を求めよ。この問題の解説をお願いします!

質問者からの補足コメント

  • 三角比を使わずに解く方法も教えて頂きたいです!よろしくお願いします!

      補足日時:2020/06/19 06:48

A 回答 (1件)

ラグランジュの未定乗数法とか使えばいいんだろうけど、


この問題では制約式が特徴的だから、
19x^2 + 6xy + 11y^2 = 1 を二次曲線として標準化してしまえば簡単。

二次形式を対角化すれば (-x+3y)^2 + 2(3x+y)^2 = 1 と書けるので、
制約を満たす x, y は -x+3 = cosθ, (√2)(3x+y) = sinθ と表示できる。
これを目的関数に代入すれば、
x^2 + y^2 = { ((3√2)sinθ - 2cosθ))/20 }^2 + { ((√2)sinθ + 6cosθ))/20 }^2
= (1/400){ 20 + 20(cosθ)^2 }
= (1/20){ 1 + (cosθ)^2 }.

-1 ≦ cosθ ≦ 1 より、(1/20){ 1 + 0 } ≦ x^2 + y^2 ≦ (1/20){ 1 + 1 }.
最大値 x^2 + y^2 = 1/10 となるのは、cosθ = ±1 となる θ = 0, π のときで、
このとき、(x,y) = ( ((3√2)sinθ - 2cosθ))/20, ((√2)sinθ + 6cosθ))/20 )
= ( -1/10, 3/10 ), ( 1/10, -3/10 ).
最小値 x^2 + y^2 = 1/20 となるのは、cosθ = 0 となる θ = ±π/2 のときで、
このとき、(x,y) = ( ((3√2)sinθ - 2cosθ))/20, ((√2)sinθ + 6cosθ))/20 )
= ±( 3/(10√2), 1/(10√2) ).
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