仕事と運動エネルギー

解答をお願いします。

【問題】
質量ｍの質点に、単位時間あたりPの仕事がなされるとき、静止していた位置から距離sだけ移動したときの質点の速さをvとする。
この質点の運動方程式から　mv³＝3Ps　が成り立つことを示せ。ただし、Pは常に一定である。

【参考】
仕事率P＝Fv　dv/dt=(dv/dx)×(dx/dt)=v(dv/dx)

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/06/23 09:58

「静止していた位置から距離sだけ移動したときの質点の速さ v」と区別するために、変数（時間の関数）としての速度を V と書きます。

運動方程式
　F = ma = m*dV/dt
において
　dV/dt = (dV/dx)(dx/dt) = V(dV/dx)
なので
　F = mV*(dV/dx)　　　　①

また、単位時間当たり P の仕事がなされるので、運動エネルギーの変化率が P となることから
　P = d[(1/2)mV^2]/dt = mV*(dV/dt)
なので
　P = FV　　　　②

①②より
　P = mV^2 *(dV/dx)
P は一定であるから、これを静止している位置から距離 s まで x：0→s で積分すると、速度は V：0→v に変化するので
　∫[0→s]Pdx = ∫[0→s][mV^2 *(dV/dx)]dx = ∫[0→v][mV^2 ]dV
→　Ps = (1/3)mv^3
→　3Ps = mv^3

出題者の意図としては上のようなことなのだと思いますが、v が「時間の関数」なのか「定数」なのか不明確に扱われているので、なんかわかりにくい問題になっていると思います。