連立不等式

2x+y≦2、　x+2y≦2、　x>0、　y>0
が全て成り立つとき、x+yの最大値をもとめる問題で、最初の二つの条件を足して求めてはいけないんですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/23 19:42

最初の二つの条件を足して 3x + 3y ≦ 4 とするのはかまいませんが、

それだけでは、不等式 x + y ≦ 4/3 が常に成立することしか判りません。
x + y = 4/3 となるような x, y が存在するかどうかを確認する必要があります。

例えば、よく似た問題で
2x + y ≦ 2, x + 2y ≦ 2, 0 < x, 0 < y ≦ 1/2 のときの x + y の最大値なら、
同様に最初の二式から x + y ≦ 4/3 は導けるけれど、最大値は 4/3 ではない
からです。

一般に最大値や最小値を求める問題で、最大値や最小値をとるときの変数の値
を添えて答えるべきなのは、このためです。

この問題の場合、x + y = 4/3 となる 2x + y = 2, x + 2y = 2 のときに
同時に x > 0, y > 0 も成り立つことを示せばよいです。
連立方程式 2x + y = 2, x + 2y = 2 を解いて x = y = 2/3 なので、
x > 0, y > 0 も成り立っていますね。

この回答へのお礼

よく分かりました。回答いただきありがとうございました。

お礼日時：2020/06/29 12:55

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/06/23 16:56

最初の二つの条件

2x+y≦2
x+2y≦2
を足して
x+y≦4/3
を求めてもよいけれども
最大値
x+y=4/3
2x+y≦2
x+2y≦2
x>0
y>0
となるx,yの値が
x=y=2/3
である事を示す必要があります

2x+y≦2
と
x+2y≦2
を
加えると

3x+3y≦4
↓両辺を3で割ると

x+y≦4/3

x+y=4/3
の時

y=4/3-x
2x+y=2x+4/3-x=x+4/3≦2
x≦2/3
x+2y=x+2(4/3-x)=8/3-x≦2
2/3≦x
↓x≦2/3だから
x=2/3
↓これをy=4/3-xに代入すると
y=2/3

x=y=2/3の時
x+yの最大値
4/3

この回答へのお礼

ありがとうございました。よく分かりました。

お礼日時：2020/06/29 12:59