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A)1/1^2+1/2^2+1/3^2+・・・1/n^2<2-1/nを証明せよ、ただしnは2以上

という問題の発展で

B)この極限値が2以下であることが分かるが、この極限値が5/3以下であることを証明せよ

のAはわかったのですが、Bが分かりませんどなたか教えて頂けないでしょうか?

gooドクター

A 回答 (1件)

「この極限値」って何や?


ちゃんと n→∞ て書こうよ。

S(n) = Σ[k=1...n] 1/k^2
< Σ[k=1...n] 1/( k^2 - (1/2)^2 )
= Σ[k=1...n] { 1/(k - 1/2) - 1/(k + 1/2) }
= 1/(1 - 1/2) - 1/(n + 1/2)
= 2 - 1/(n + 1/2).
という計算は有名だが、
S(n) = 2 - 1/n は、それより評価が厳しい。

どうやったら導けるか弄っていたら、
S = 1 + Σ[k=2...n] 1/k^2
< 1 + { 1/(2 - 1/2) - 1/(n + 1/2) }
= 5/3 - 1/(n + 1/2)
< 5/3.
が出てきた。
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この回答へのお礼

すいません無限大書くの忘れてました!
ありがとうございます!

お礼日時:2020/06/25 15:06

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gooドクター

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