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位相空間論
x∈R^nとε>0に対してA^n(x,ε)={x∈R^n | |x|<ε}とする。この時、(x,y)∈R^2とε_1,ε_2>0に対して、あるε´>0があって、
A^2((x,y),ε´)⊂A^1(x,ε_1)×A^1(y,ε_2)となることを詳しく証明して頂きたいです。よろしくお願い致します。

gooドクター

A 回答 (1件)

(a,b)∈R^2


ε_1>0
ε_2>0
に対して
ε'=min(ε_1,ε_2)
とする
(x,y)∈A^2((a,b),ε')
とすると
|x-a|≦√{(x-a)^2+(y-b)^2}<ε'≦ε_1
だから
x∈A^1(a,ε_1)
|y-b|≦√{(x-a)^2+(y-b)^2}<ε'≦ε_2
だから
y∈A^1(b,ε_2)
だから
(x,y)∈A^1(a,ε_1)×A^1(b,ε_2)
だから
(x,y)∈A^2((a,b),ε')→(x,y)∈A^1(a,ε_1)×A^1(b,ε_2)
が成り立つから

A^2((a,b),ε')⊂A^1(a,ε_1)×A^1(b,ε_2)
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この回答へのお礼

返事遅くなり申し訳ありませんでした
とても分かりやすく助かりました!

お礼日時:2020/06/26 21:26

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