場合の数の問題、教えて下さい！サンドウィッチの詰め方

宿題の問題は以下の通りです。
「縦12㎝(3㎝×4)、横20㎝(10㎝×2)の大きさの容器に、パン屋の店員が、縦×横=3㎝×10㎝の大きさの4種類(ツナ、タマゴ、ハム、チーズ)のサンドウィッチを各2個ずつ、計8個、隙間なく詰めるとする。このとき、サンドウィッチの詰め方は何通りあるか？

ただし、実際はたかが4種類しかないが、パッと見、もっと色んな種類が入っているように客に見せるために、
①サンドウィッチの短い辺同士が隣り合う場合は、互いに異なる種類のサンドウィッチ同士でなければならないとし、また、
②各縦の列にサンドウィッチを詰める際は、4種類すべてのサンドウィッチを詰めなければならないとする。
(これら①、②の条件を無視した詰め方をすると、
「商品として不合格！」と店長から叱られてしまうので、詰め方としては数えられない。人生は塩辛いのである。)。
また、容器を回転して同じ配列の場合は、同じ詰め方とする
(今回は容器なので、裏返しにすると、載せることは出来ても、詰めることは出来ないので注意。店長は飽くまで、パンパンに詰めて販売したいのである。店長なりのサービス精神である。)。
ちなみに、同じ種類のサンドウィッチ同士は区別がつかないものとする。」

という宿題が出されて、私は以下のように考えました。

ツナ、タマゴ、ハム、チーズをそれぞれ、簡単のため、
a, b, c, dとして、
例えば、容器の左の縦列に上から順番に(a, b, c, d)と詰めるとすると、右の縦列には、上から順番に、
(b, a, d, c)、(b, c, d, a)、(b, d, a, c)、
(c, a, d, b)、(c, d, a, b)、(c, d, b, a)、
(d, a, b, c)、(d, c, a, b)、(d, c, b, a)の9通りが考えられ、
左の縦列の並べ方は、4！通りあり、それらの対称性から、
各々9通りの右縦列の詰め方があるので、全部で、9×4！通りあるが、回転させて同じ詰め方が各々2通りあるので、2で割って、
(9×4！)÷2=108通り

が答えになると思ったのですが、合っているでしょうか？

何だか、色々と考えにくく、結局、泥臭い地道な解法を取ったのですが、別解として何かもっとスパッと簡単に解く方法はないでしょうか？

ご教示のほど宜しくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  
  (d, b, c, a) などは、
  
  条件①サンドウィッチの短い辺同士が隣り合う場合は、互いに異なる種類のサンドウィッチ同士でなければならない
  
  ということに反してしまうので、詰め方としてカウントされないと思います。
  
  ただ、回転させても同じものになる場合は、完全に考慮から漏れてしまっていました。
  
  ありがとうございます。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/02 15:42

• 回答ありがとうございます。
  
  なるほど！
  
  回転しても2通りとして元々数えていないものについて、
  考慮不足でした！
  
  ご指摘ありがとうございます！

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/02 15:44

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/02 08:10

回転して同じになる

(a,b,c,d)
(d,c,b,a)
があるので、
(9×4！)÷2 ではなく
(8÷2 + 1)×4！ = 120 通り。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2020/07/02 14:08

「・・・の9通りが考えられ」って、どうやって 出したのですか。

(d, b, c, a) など カウントされていないものが、複数あります。
(b, a, d, c) と (c, d, a, b) の様に 回転させて同じになるものと
(b. c, d, a) の様に 回転させても同じものが無いものが 混在しています。
小学校で習った 樹形図を使えば ダブりなく 抜けもなく
全部カウントできる筈ですよ。