ピタゴラス数について。

ピタゴラス数が無限にあることを証明して欲しいのですが、高校数学の美しい物語の証明2がわかりません。詳しく教えていただけないでしょうか？すみません。以下のURLです。
https://mathtrain.jp/pythagoras

質問者からの補足コメント

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  どちらか一方が平方数でない数が思いつかないのです。例を挙げていただけないでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/03 14:25

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  背理法のところです。証明2です。教えていただけないでしょうか？すみません。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/03 18:33

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  すみません。mとnが互いに素で、片方のみが奇数でないとダメらしいのですが、なぜでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

    補足日時：2020/07/03 18:45

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/03 18:52

両方共に平方数である事を証明するために

仮にどちらか一方が平方数でないと仮定するのだから
あり得ない事を証明するのだから
あり得ない事を考えてどうするのでしょうか?
どちらか一方が平方数でない数はあり得ません

そこに書いてある通り
正の整数m,n(m>n)を用いて

a=m^2-n^2
b=2mn
c=m^2+n^2

とすると

a^2+b^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2=c^2

なので

a=m^2-n^2
b=2mn
c=m^2+n^2

とすれば
(a,b,c)はピタゴラス数になるから

ピタゴラス数
(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)_{m>nは自然数}
は
∞にあるから
ピタゴラス数が無限にあることの証明は
ここで終わっているのです

1,2,3の証明は
ピタゴラス数が無限にあることの証明ではなく

すべての原始ピタゴラス数は
(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)という形になる事の証明なのです

1の証明は
(a,b,c)
を原始ピタゴラス数
a^2+b^2=c^2
とすると
a と bのどちらか一方のみ奇数で他方は偶数
cは奇数である。
事の証明なのです

2の証明は
(a,b,c)を原始ピタゴラス数
a^2+b^2=c^2
とすると
1の証明結果で
cは奇数である
a と bのどちらか一方のみ奇数で他方は偶数
だから
aを奇数,bを偶数
とすると
c+aは奇数+奇数=偶数だから
(c+a)/2は整数となる
c-aは奇数-奇数=偶数だから
(c-a)/2は整数となる

{(c+a)/2}{(c-a)/2}=(c^2-a^2)/4

a^2+b^2=c^2
b^2=c^2-a^2
だから
(c^2-a^2)/4=b^2/4
だから

{(c+a)/2}{(c-a)/2}=b^2/4=(b/2)^2

bは偶数だからb/2は整数だから

{(c+a)/2}{(c-a)/2}=(b/2)^2
は平方数

・(c+a)/2が平方数でない場合
[
(c+a)/2の全ての素因数p≧2に対して
(c+a)/2がp^2で割り切れるならば
(c+a)/2は平方数だから
(c+a)/2が平方数でないのだから
(c+a)/2の素因数p≧2で
(c+a)/2がp^2で割り切れないpがある
pは平方数{(c+a)/2}{(c-a)/2}=(b/2)^2の約数だから
pは(b/2)の約数だから
p^2は(b/2)^2={(c+a)/2}{(c-a)/2}の約数だから
p^2は{(c+a)/2}{(c-a)/2}の約数だから
(c+a)/2はpで割り切れるけれども
(c+a)/2がp^2で割り切れないから
(c-a)/2がpで割り切れる
pは(c+a)/2と(c-a)/2の公約数共通因数になる
]

・(c-a)/2が平方数でない場合
[
(c-a)/2の全ての素因数p≧2に対して
(c-a)/2がp^2で割り切れるならば
(c-a)/2は平方数だから
(c-a)/2が平方数でないのだから
(c-a)/2の素因数p≧2で
(c-a)/2がp^2で割り切れないpがある
pは平方数{(c+a)/2}{(c-a)/2}=(b/2)^2の約数だから
pは(b/2)の約数だから
p^2は(b/2)^2={(c+a)/2}{(c-a)/2}の約数だから
p^2は{(c+a)/2}{(c-a)/2}の約数だから
(c-a)/2はpで割り切れるけれども
(c-a)/2がp^2で割り切れないから
(c+a)/2がpで割り切れる
pは(c+a)/2と(c-a)/2の公約数共通因数になる
]
∴
(c+a)/2と(c-a)/2の共通因数p≧2がある

(c+a)/2=up
(c-a)/2=vp

となる自然数u,vがある

c+a=2up
c-a=2vp

a=(u-v)p
c=(u+v)p

よって，
a,c
はともに
p
の倍数となり，さらに
b
も
p
の倍数となるので原始ピタゴラス数であるという仮定に矛盾

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/07/03 18:27

「どちらか一方が平方数でない」とはどういうこと? 「一方だけが平方数でない」なら

そんなことはあり得ない
ので, 「思いつい」たらすごいぞ.

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2020/07/03 11:11

どこが？

結構 細かく説明出されているように 感じますが。
それとも、背理法 そのものが理解できない？