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R:可換環、A,B:環R上の射影加群
この時A→Bへの単射準同型とB→Aへの単射準同型が存在する時, A≃Bは言えますか?

(濃度についてのカントルの定理を流用しようとしたところ、全単射は言えましたが準同型で止まりました。何か別の証明方法があれば教えていただきたいです)

質問者からの補足コメント

  • 第一同型定理を使うとIm f≃ A/Ker fとなります。

    今回の場合だと, fは全射ではないのでB ≃ A/Ker f は言えないと思います。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2020/07/05 10:47
gooドクター

A 回答 (2件)

Aは射影加群だから


A⊂F_aとなるような最小R自由加群F_aが存在する
自由加群F_aの基底でAを生成する
基底をE_aとすると
Aの任意の元はE_aの元にR係数をかけたものの有限和となる

Bは射影加群だから
B⊂F_bとなるような最小R自由加群F_bが存在する
自由加群F_bの基底でBを生成する
基底をE_bとすると
Bの任意の元はE_bの元にR係数をかけたものの有限和となる

AとBの濃度が等しいのだから
E_aとE_bの濃度は等しい
E_aからE_bへの全単射
が存在するから
F_aからF_bへの同型写像
f:F_a→F_b
が存在する

A,Bが自由加群であれば

A~(同型)~B
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f を A から B への単射準同型とし、w ∈ Ker f ⊂ A とする。


任意の x ∈ A について、f が加群準同型であることより f(x+w) = f(x) + f(w) = f(x) + 0 = f(x).
f が単射であることから、w+x = x. すなわち w = 0. これは、Ker f = { 0 } であることを示している。
第一同型定理より B ≃ A/Ker f だから、Ker f = { 0 } より B ≃ A.
この回答への補足あり
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