下手したら東大京大レベルの問題です さっぱりわかりません、図形のイメージ、図示しかできません xyz

下手したら東大京大レベルの問題です
さっぱりわかりません、図形のイメージ、図示しかできません

xyz空間において

0≤x≤π/2

0≤y≤π/2

sinx≤z≤cosy

で表される領域の体積を求めよ

質問者からの補足コメント

• すみません、x+y≤π/2になる理由がわかんないです

    補足日時：2020/07/06 18:44

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/06 23:45

えーと、わかりますよねかどうかわかりませんので念のため。

　図示するって所をもっと丁寧にやるなら、実数の範囲において
　　∀a∀b ((0≦a≦π/2 ∧ 0≦b≦π/2)⇒ (a<b ⇔ cos a > cos b))
（0〜π/2においてcosは単調減少だ、ってことです）
なので
　　∀x∀y( (0≦x≦π/2 ∧ 0≦y≦π/2) ⇒ (
　　　　(y < π/2 - x ⇒ cos y > cos(π/2 - x)) ∧
　　　　(y > π/2 - x ⇒ cos y < cos(π/2 - x)) ))
であり、一方
　　∀x (sin x = cos(π/2 - x))
なのだから
　　∀x∀y((0≦x≦π/2 ∧ 0≦y≦π/2) ⇒ (y ≦ π/2-x ⇔ cos y ≧ sin x))
だ、ということ。

この回答へのお礼

すみません考えてました、わかりました！ありがとうございます！

お礼日時：2020/07/07 07:15

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/06 19:25

No.3へのコメントについてです。

> もちろんできます。

ならば、
> sinx≤cos(π/2-x) ⇔x≤π/2-x
だなんて変なことをやってるんじゃない、ということもわかりますよね？

この回答へのお礼

この問題って大学入試でいうと東工大くらいですか？

お礼日時：2020/07/07 08:17

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/06 19:13

No.2へのコメントについてです。

> sinx≤cos(π/2-x) ⇔x≤π/2-x

そりゃ間違いですよ。ふーむ、こんなのが難問だと仰る理由は、

> 図形のイメージ、図示

ができてないからじゃないかな。xy平面上で、0≦x≦π/2,0≦y≦π/2の正方形の中で sin x ≦ cos yになる領域を図示できますか？

この回答へのお礼

ムカ、これでも河合塾onewexのLJKです。
もちろんできます。

お礼日時：2020/07/06 19:21

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/06 19:02

No.1へのコメントについて

　sin x = cos(π/2-x)
そして、

> 図形のイメージ、図示

はできるんでしょ？

この回答へのお礼

sinx≤cos(π/2-x) ⇔x≤π/2-x は同地変形じゃないので間違ってますよ

お礼日時：2020/07/06 19:06

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/05 18:12

そんなに難しいかな？

　　sinx = cosy
の解は（三角関数のグラフを思い出せば）0≦x≦π/2 かつ 0≦y≦π/2の範囲の中では
　　{(x,y) | x+y=π/2}
という線分。なので、
　　sinx≦cosy
が成り立つのは
　　x+y≦π/2
のとき。従って、積分範囲をDとすれば
　　D = {(x,y) | 0≦x≦π/2 ∧ 0≦y≦π/2 ∧ x+y≦π/2}
求められている体積Jは
　　J = ∫∫_D (cosy - sinx) dx dy
ということ。
　そこで
　　K(y) = ∫(cosy - sinx) dx (積分範囲は0≦x≦(π/2)-y)
　　= cosy ∫dx - ∫sinx dx (積分範囲は0≦x≦(π/2)-y)
とすると
　　J = ∫K(y)dy (積分範囲は0≦y≦π/2)
あとは瞬殺でしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
天才過ぎませんか？かっこよすぎませんか？
知恵袋とかいうネット依存のしったかしかいないコンテンツでは誰も解けませんでした

お礼日時：2020/07/05 18:19