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以下、ご教授ください。

問題
f(x)=x√(4-x^2)(0<=x<=2)

関数y=f(x)のグラフと直線y=xのとで囲まれた図形の面積を求めよ。

解答
共有点のz座標が0,√3であることは求めることができています。
しかし、この範囲で積分しようとすると、

√3
∫ {x*√(4-x^2)^1/2 - x}
0

となります。
この積分の仕方が分かりません。
解説をお願いします。

質問者からの補足コメント

  • 共有点のz座標が
    →共有点のx座標が

    ∫ {x*√(4-x^2)^1/2 - x}
    →∫ {x*√(4-x^2) - x}dx

    雑な記述で申し訳ありませんでした。

    なお、答えは5/6とのことです。

    共有点√3と0は用いないのでしょうか?

      補足日時:2020/07/06 20:22

A 回答 (4件)

4-x²=t とおきます。


-2x=dt/dx
x dx=(-1/2)dt

x:0→√3
t:4→1

∫[x:0→√3] {x√(4-x²) - x}dx
=∫[x:0→√3] {√(4-x²) - 1}x dx
=∫[t:4→1] (√t - 1)(-1/2)dt
=(1/2)∫[t:1→4] (√t - 1)dt
=(1/2) [(2/3)t^(3/2) - t] [t:1→4]
=(1/2){(16/3 - 4) - (2/3 - 1)}
=5/6
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「共有点√3と0は用いないのでしょうか?」って, 定積分だから使わないと当然答えは出ないよ.

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え? そんな式には (積分変数が書かれていないことをおいても) ならないよ?



さくっと積分できるけどどうにも困ったら置換積分.
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その式おかしくないすか?


ともあれ
  ∫x(√(4-x^2) - 1) dx = (-1/6)(3x^2 + 2(4-x^2)^(3/2))+C
だな。
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