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高3女子です。下手したら東大京大レベルの超難問です、さっぱりわかりません

{an}を正の数からなる数列とし,pを正の実数とする、このときan+1>an(1/2) -pを満たす番号nが存在することを証明しなさい

質問者からの補足コメント

  • 小さくてすみません。

    「高3女子です。下手したら東大京大レベルの」の補足画像1
      補足日時:2020/07/07 18:45

A 回答 (4件)

{a(n)}を正の数からなる数列とし,


pを正の実数とする

任意の自然数nに対して
0<a(n+1)≦a(n)/2-p…(1)
と仮定する
0<p≦a(n)/2-a(n+1)
だから
0<a(n+1)<a(n)/2
となる
P(n)=[0<a(n+1)<a(1)/2^n]
とすると
P(1)=[0<a(2)<a(1)/2]は真
ある自然数nに対してP(n)が真と仮定すると
a(n+1)<a(1)/2^n
↓両辺に(1/2)をかけると
a(n+1)/2<a(1)/2^(n+1)
↓0<a(n+2)<a(n+1)/2だから
0<a(n+2)<a(1)/2^(n+1)
P(n+1)=[0<a(n+2)<a(1)/2^(n+1)]も真だから
全ての自然数nに対して
0<a(n+1)<a(1)/2^n
全ての自然数n≧2に対して
0<a(n)<a(1)/2^(n-1)…(2)

n>a(1)/p+1
となる自然数n≧2が存在する
2^(n-1)>n-1>a(1)/p
2^(n-1)>a(1)/p
↓両辺にp/2^(n-1)をかけると
p>a(1)/2^(n-1)
↓(2)から
p>a(1)/2^(n-1)>a(n)>0
↓a(n)>a(n)/2>a(n)/2-a(n+1)だから
p>a(n)/2-a(n+1)
↓両辺にa(n+1)-pを加えると
a(n+1)>a(n)/2-p
となって(1)に矛盾するから

a(n+1)>a(n)/2-p
を満たす自然数nが存在する
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!天才過ぎませんか!惚れました。

お礼日時:2020/07/09 09:32

背理法を使うとよい。


a_(n+1)≦(1/2)*a_n-p
が常に成り立つとすると矛盾が生じることを示せばよい。
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この回答へのお礼

やってみます!30分後にまたコメントください!

お礼日時:2020/07/07 19:05

問題文が正確では無いでしょ?


数列が{1,2,3,4,5・・・・}で,n=1,p=1なら
1+1 > -1/2 って当たり前。
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「an+1>an(1/2) -p」という式の意味がさっぱり分かりません.

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この回答へのお礼

あなたのほうがなにいってるかわかりません

お礼日時:2020/07/07 18:46

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