a_nは全て0<a_n<1を満たすとする。この時、Σ(n=1→∞)a_n=∞ならば、Π(n=1→∞)

a_nは全て0<a_n<1を満たすとする。この時、Σ(n=1→∞)a_n=∞ならば、Π(n=1→∞) (1-a_n)=0 であることを詳しく証明して頂きたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/07/10 16:41

Σ_{n=1～∞}α_n=∞

だから
K>0に対して
ある自然数N(K)が存在して
n>N(K)となる任意の自然数nに対して
Σ_{j=1～n}α_j>K
だから

任意のε>0に対して
ある自然数N(1/ε)が存在して
n>N(1/ε)となる任意の自然数nに対して
Σ_{j=1～n}α_j>1/ε
だから
e^{Σ_{j=1～n}α_j}>Σ_{j=1～n}α_j>1/ε
だから
e^{-Σ_{j=1～n}α_j}<ε

1-α_j ≦ e^(-α_j)
だから
|Π_{j=1～n}(1-α_j)|≦Π_{j=1～n}e^(-α_j)=e^{-Σ_{j=1～n}α_j}<ε
だから

Π_{n=1～∞}(1-α_n)=0

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2020/07/10 17:14

たとえばグラフを考えればわかるように

1--ｘ＜ｅ^(－ｘ)がなりたつ。
したがって
0＜1-a_n＜ｅ^(－a_n)　だから
0＜1-a_nの部分積＜ｅ^{－(a_nの部分和)}がなりたつ。
条件よりa_nの部分和は∞に発散するから
上の不等式の右辺は0に収束、したがってはさみうちにより
表記の無限積は0になる。