複素数の問題

以下の各方程式を解く時に、z²=tと置いて解くのは正しいですか？
(1) z⁶=64
(2) z³=i

質問者からの補足コメント

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  (1)と(2)の自分の答案を以下に示します。(恐らく間違っています。)
  (1)z²=tとすると、tは実数なのでt³=64
  (t−4)(t²+4t+16)=0となり、z²=4よりz=±2
  
  (2)与式よりz⁶=−1
  z²=tとすると、t³+1=0となるので、(t+1)(t²−t+1)=0
  z²=−1よりz=±i

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/10 23:41

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  (1)でz=√(−2±2√3i)となり行き詰まりますね。これは高校範囲では太刀打ちできない感じです。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/07/11 15:53

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/11 18:43

＞ (1)でz=√(−2±2√3i)となり行き詰まりますね。

(1)の話？
z⁶=64, z²=t で t³=2⁶ となるので、
0 = t³ - 2⁶ = (t - 4)(t² + 8t +16 ) より
t = 4 または t = { -4 ± √(4² - 4・16) }/2 = -2 ± 2√3i,
z = ±√t = ±2 または ±√( -2 ± 2√3i )　ですが、

二重混合を外す計算は、高校生にはお手の物のはずです。
√( -2 ± 2√(-3) ) = √a ± √b とすれば
a + b = -2, ab = -3 から u = a, b が u^2 + 2u - 3 = 0 の解で
u = 1, -3.
よって、±√( -2 ± 2√(-3) ) = ±{ √1 ± √(-3) } = ± 1 ± √3i.
ただし、複合任意。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/10 23:50

「与式よりz⁶=−1」のところが、十分性を欠いた変形になっている。

これは、No.3 に書いたとおり。
z⁶=−1 の解の中には z³=i となるものと z³=-i となるものがあり、
全てが z³=i の解ではない。

「(t+1)(t²−t+1)=0」のあと「z²=−1」としてしまったので、
(t²−t+1)=0 に対応する解を失っている。

その結果、得られた z=±i は、z³=i の 3 個の解のうち
２個を取りこぼし、解でないもの 1 個が混入している。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/10 23:22

そんなん、z²=t と置いたあと正しく処理できてるかどうかしだいでしょ？

(1)は、そうとう迂闊な人でも、z²=t と置いてきちんと解けるはず。
(2)は、z²=t を使うと恐らく z⁶=-1 を経由せざるを得ず、3 個の解と 3 個の不適解が出る。
どれが解でどれが不適解か、きちんと扱えてるかどうかチェックするから、君の答案を補足に書いてみて。

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/07/10 22:15

複素数でも変数置換はできるが、tを実数とするならダメ。

あと、(1)は良いとして、(2)は却って面倒になるけどね。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/10 22:12

(1)はおいても良いかもしれないがきっと面倒です

(2)は置き換えの効果はないのでは

(1)(2)とも　z=r(cosθ+isinθ) とおいて解くのが楽ではないでしょうか