５乗展開不要のやり方を教えてください

次の等式の成立の証明を、一文字消去（これは出来ました）以外のやりかたでできるかた。ぜひ、やりかたを教えてください。

a＋ｂ＋ｃ＝0　のとき

6（a＾5＋ｂ＾5＋ｃ＾5）＝5（a＾2＋ｂ＾2＋ｃ＾2）（a＾3＋ｂ＾3＋ｃ＾3）

No.1 回答者： shushou 回答日時： 2001/08/12 14:39

a+b+c=0より

a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=-2(ab+bc+ca) (1)
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc=3abc (2)

よって、右辺＝5（a＾2＋ｂ＾2＋ｃ＾2）（a＾3＋ｂ＾3＋ｃ＾3）
　　　　　　＝-30abc(ab+bc+ca)
一方　
a^5+b^5+c^5
=（a＾2＋ｂ＾2＋ｃ＾2）（a＾3＋ｂ＾3＋ｃ＾3）
-(a^2b^2(a+b)+a^2c^2(a+c)+b^2c^2(b+c))
=（a＾2＋ｂ＾2＋ｃ＾2）（a＾3＋ｂ＾3＋ｃ＾3)
-(-a^2b^2c-a^2c^2b-b^2c^2a) (∵ a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a)
=（a＾2＋ｂ＾2＋ｃ＾2）（a＾3＋ｂ＾3＋ｃ＾3)
+abc(ab+bc+ca)
=-6abc(ab+bc+ca)+abc(ab+bc++ca) (∵(1),(2))
=-5abc(ab+bc+ca)
であるから
左辺＝6（a＾5＋ｂ＾5＋ｃ＾5）=-30abc(ab+bc+ca)
よって左辺＝右辺となりますね。

次の恒等式はもし暗記してなかったら暗記しましょう。
(a^2+b^2+c^2)=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

No.2 回答者： happiness_snow 回答日時： 2001/08/12 19:49

すみません。

なんだか上げ足を取るようでなんなのですが。。。

shushouさんへ
次の恒等式はもし暗記してなかったら暗記しましょう。
(a^2+b^2+c^2)=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
ちゃいますか？
ごめんなさい。。

No.3 ベストアンサー 回答者： shushou 回答日時： 2001/08/12 20:28

happines-snowさんへ

揚げ足とりなんてとんでもない
訂正してくださってありがとうございます。

shuudaiさんへ
こういう対称式の問題は
a+b+c,ab+bc+ca,abc
の３つですべてを表現できることも覚えておくといいですよ。
ちなみに
a＋ｂ＝0　のとき
6（a＾5＋ｂ＾5）＝5（a＾2＋ｂ＾2）（a＾3＋ｂ＾3）を示せ。
という問題でしたら（ｃ＝0　にしただけですが）
a+bとabの２つで
a＾5＋ｂ＾5、a＾2＋ｂ＾2、a＾3＋ｂ＾3
を表していけば良いわけです。
もっとも　この場合はa=-bを代入すれば一発ですが。