【先着1,000名様!】1,000円分をプレゼント!

x>0で、f(x)=e^-1/xのとき、全てのnに対して
lim(x→+0)f(n)f(x)/x^m=0
を数学的帰納法で示せという問題がわかりません。どなたかよろしくお願いします。
f(n)(x)はf(x)のn回微分、mは任意定数です!

A 回答 (2件)

前回の No.2 が素直で解りやすい証明だと思うけれど、


εδが嫌いなのか、帰納法が大好きなのか、どちらなんだろう?
    • good
    • 0
この回答へのお礼

前回の質問は自分の言い方に不備があったので質問し直させていただきました。

お礼日時:2020/07/14 20:03

まともな質問者とは思えないが


https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11764850.html

f(n)f(x) → f⁽ⁿ⁾(x) ですねン・・・?

1.
まず、P(x)をxの多項式とすると
f⁽ⁿ⁾(x)=P(1/x)e^(1/x) を証明する。Pはある形を持つものではなく多項式一般を表す。
n=1のとき、
f(1)={f(x)}'=e^(1/x){1/x²}で成立

nのとき命題の成立を仮定すると
f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)={f⁽ⁿ⁾(x)}'={P(1/x)e^(-1/x)}'=P'(1/x)(1/x²)e^(-1/x)+e^(-1/x)(1/x²)
={P'(1/x)(1/x²)+(1/x²)}e^(-1/x)

P'(1/x)は1/xの多項式だから、{P'(1/x)(1/x²)+(1/x²)}も1/xの多項式となり、帰納法により
命題が証明された。

2.
u=1/x とおくと 1/x^m=u^mだから
f⁽ⁿ⁾(x)/x^m=u^mP(u)e^(-u)=u^mP(u)/e^(u)≦P(u)/e^(u)
となる。
ここで、m≦k となる最小の正の整数kをとると、u≧1のとき
u^mP(u)≦u^kP(u)≦P(u) (Pは一般の多項式)
となることを使った。

ここで、g(u)=P(u)/e^(u)とおく。
x → +0のとき、u → ∞だから、p(u) → ±∞、e^(u) → ∞でロピタルを使って

lim g'(u)=lim P'(u)/e^u=・・・=lim P⁽ⁿ⁺¹⁾(u)/e^u
となるが、Pの最高次数をnとすれば、P⁽ⁿ⁺¹⁾(u)=0 となり、上の右辺は0となる。
ゆえに
lim f⁽ⁿ⁾(x)/x^m=0
が証明された。


しかし、自作自演者(グループ?)、トンデモ、礼儀知らずしかいないのかねぇー。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

丁寧なご回答とご指摘ありがとうございました。以後気を付けます!

お礼日時:2020/07/14 17:38

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


人気Q&Aランキング