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【数学IIB/数学的帰納法】

Q.nを自然数とするとき、5ⁿ-2ⁿは3で割り切れることを
  数学的帰納法を用いて証明せよ.

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解法まるまるお願いします。。。

A 回答 (2件)

「ある数が3で割り切れる」と「ある数は3の倍数である」は同値であるので、以下区別することなく表記する。



(i)n=1のとき
5^1-2^1=5-2=3となり、3で割り切れる。

(ii)n=kの時
5^k-2^kが3の倍数であると仮定する。
ここでn=k+1の時、つまり5^(k+1)-2^(k+1)も3の倍数となるのか?
5^(k+1)-2^(k+1)
=5・5^k-2・2^k
=5・5^k-5・2^k+5・2^k-2・2^k → 5・2^kを引いて足した。
=5・(5^k-2^k)+(5-2)・2^k
=5・(5^k-2^k)+3・2^k
先ほど、n=kの時、5^k-2^kが3の倍数であると仮定した。そして、3・2^kは3の倍数であることは明らか。
故に、n=k+1の時、つまり 5^(k+1)-2^(k+1) も3の倍数となることが明らかになった。

以上より、問は正しいことが証明された。
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この回答へのお礼

証明の言い回しが少しイレギュラーだったのでとてもわかりやすかったです。ありがとうございます。

お礼日時:2020/07/14 21:28

あるまるは削除の対象ですが


n=1 の時は 5-2=3 なので、、、、
あとは、5ⁿ-2ⁿ=3m m∈N
として、5・5ⁿ-2・2ⁿ が3で割り切れることを示すだけです。
5・5ⁿ=(2+3)5ⁿ
とするのが肝です。
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