【数学IIB/図形と方程式】 Ｑ．2つの円 x²＋y²＝1，x²＋y²－6x－4y＋9＝0 の交点

【数学IIB/図形と方程式】

Ｑ．2つの円 x²＋y²＝1，x²＋y²－6x－4y＋9＝0 の交点
　　を通る直線の方程式を求めよ.

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　　x²＋y²＝1・・・①
　　x²＋y²－6x－4y＋9＝0 ・・・②
　とすると、②は
　　(x－3)²＋(y－2)²＝4
　となり、①の半径をr₁、②の半径をr₂、2つの円の中心間
　距離をdとすると、
　　r₂－r₁＝1
　　r₁＋r₂＝3
　　d＝√13
　となり、
　　r₂－r₁ ≦ d ≦ r₁＋r₂
　が成り立たず、交点は存在しません。
　ですが、
　　k(x²＋y²－1)＋l(x²＋y²－6x－4y＋9)＝0　(k,l∈R)
　として交点を通る直線の方程式を導くと
　　6x＋4y－10＝0　(y＝－3/2x＋5/2)
　が求まります。
　交点がないので問の方程式は存在しない気がするのです
　が、この束を用いて導かれた方程式は一体何を表してい
　るのでしょうか。
　グラフにしてみるとなんとなく2つの円の間を通ってい
　るようには見えますが。。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/15 00:13

①②の中心を結ぶ線分に直交する直線で、

両中心から交点までの距離の二乗の差が
①②の半径の二乗の差に等しいようなもの
を表していますね。 このことは、
k (x²+y²-1) + l (x²+y²-6x-4y+9) = 0 が
直線の式になるのが k = -l のときであることから
x²+y²-1 = x²+y²-6x-4y+9 = m {m∈R} と変形して、
x² + y² = √(1 + m)²,
(x-3)² + (y-2)² = √(4 + m)² の
両円の半径を表す式から m を消去すれば導けます。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/15 00:24

基本的に（共有点をもつ）2曲線の交点を通る曲線が

kf(x,y)+Lg(x,y)=0…①です

f(x,y)＝０…②とg(x,y)=0…③に共通な解(共有点の座標）(x1,y1)を代入したときに
kf(x1,y1)＝０
Lg(x1,y1)=0だから
kf(x1,y1)+Lg(x1,y1)=0もなりたつということで
①は2曲線1②と③の交点を通る曲線であると言えるのです
（ｋ＝０、L=1なら①は曲線g(x,y)=0そのものを表し、k=1,L=0ならf(x,y)=0を表し、それ以外なら2曲線の交点を通る曲線となります
ご質問のケースでもし2円が交点を持つなら　k=-1,L=1で2円の交点を通る直線となります）

さて、ご質問の2円では共有点を持ちませんから
f(x,y)を０にさせる座標　つまり　原点中心の円周上の任意の点を(x,y)に代入したとき
g(x,y) つまり(3,2)中心の円の式になじみません
具体的には　原点中心の円の上の座標(0,1)を　
x²＋y²－6x－4y＋9＝0に代入しても　等式が成り立ちません
同様に、原点中心の円の他の座標のいずれを代入しても　
x²＋y²－6x－4y＋9＝0が成り立ちません

共有点を持つ場合は、kf(x1,y1)+Lg(x1,y1)=0が成り立つから　kf(x,y)+Lg(x,y)=0は共有点(x1,y1)を通る曲線だと言えましたが　
　k(x²＋y²－1)＋l(x²＋y²－6x－4y＋9)＝0　この等式を成り立たせる(x,y)は存在しないのだから
これは2円の交点を表す曲線ではないということになりますので
ここから（強引に）求まる直線にあまり意味はなさそうです。