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【数学IIB/図形と方程式】

Q.2つの円 x²+y²=1,x²+y²-6x-4y+9=0 の交点
  を通る直線の方程式を求めよ.

──────────────────────────

  x²+y²=1・・・①
  x²+y²-6x-4y+9=0 ・・・②
 とすると、②は
  (x-3)²+(y-2)²=4
 となり、①の半径をr₁、②の半径をr₂、2つの円の中心間
 距離をdとすると、
  r₂-r₁=1
  r₁+r₂=3
  d=√13
 となり、
  r₂-r₁ ≦ d ≦ r₁+r₂
 が成り立たず、交点は存在しません。
 ですが、
  k(x²+y²-1)+l(x²+y²-6x-4y+9)=0 (k,l∈R)
 として交点を通る直線の方程式を導くと
  6x+4y-10=0 (y=-3/2x+5/2)
 が求まります。
 交点がないので問の方程式は存在しない気がするのです
 が、この束を用いて導かれた方程式は一体何を表してい
 るのでしょうか。
 グラフにしてみるとなんとなく2つの円の間を通ってい
 るようには見えますが。。

「【数学IIB/図形と方程式】 Q.2つの」の質問画像

A 回答 (2件)

①②の中心を結ぶ線分に直交する直線で、


両中心から交点までの距離の二乗の差が
①②の半径の二乗の差に等しいようなもの
を表していますね。 このことは、
k (x²+y²-1) + l (x²+y²-6x-4y+9) = 0 が
直線の式になるのが k = -l のときであることから
x²+y²-1 = x²+y²-6x-4y+9 = m {m∈R} と変形して、
x² + y² = √(1 + m)²,
(x-3)² + (y-2)² = √(4 + m)² の
両円の半径を表す式から m を消去すれば導けます。
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基本的に(共有点をもつ)2曲線の交点を通る曲線が


kf(x,y)+Lg(x,y)=0…①です

f(x,y)=0…②とg(x,y)=0…③に共通な解(共有点の座標)(x1,y1)を代入したときに
kf(x1,y1)=0
Lg(x1,y1)=0だから
kf(x1,y1)+Lg(x1,y1)=0もなりたつということで
①は2曲線1②と③の交点を通る曲線であると言えるのです
(k=0、L=1なら①は曲線g(x,y)=0そのものを表し、k=1,L=0ならf(x,y)=0を表し、それ以外なら2曲線の交点を通る曲線となります
ご質問のケースでもし2円が交点を持つなら k=-1,L=1で2円の交点を通る直線となります)

さて、ご質問の2円では共有点を持ちませんから
f(x,y)を0にさせる座標 つまり 原点中心の円周上の任意の点を(x,y)に代入したとき
g(x,y) つまり(3,2)中心の円の式になじみません
具体的には 原点中心の円の上の座標(0,1)を 
x²+y²-6x-4y+9=0に代入しても 等式が成り立ちません
同様に、原点中心の円の他の座標のいずれを代入しても 
x²+y²-6x-4y+9=0が成り立ちません

共有点を持つ場合は、kf(x1,y1)+Lg(x1,y1)=0が成り立つから kf(x,y)+Lg(x,y)=0は共有点(x1,y1)を通る曲線だと言えましたが 
 k(x²+y²-1)+l(x²+y²-6x-4y+9)=0 この等式を成り立たせる(x,y)は存在しないのだから
これは2円の交点を表す曲線ではないということになりますので
ここから(強引に)求まる直線にあまり意味はなさそうです。
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