正n角形の内角の大きさの求め方 画像の説明がまったく理解できないのですが、式の意味を教えて下さい。

正n角形の内角の大きさの求め方

画像の説明がまったく理解できないのですが、式の意味を教えて下さい。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2020/07/15 16:03

多分 133ページには、こんなようなことが書かれていた筈です。

四角形の 一つの頂点から 他の頂点の線を引くと、2つの三角形が出来ます。
五角形の 一つの頂点から 他の頂点の線を引くと、3つの三角形が出来ます。
六角形の 一つの頂点から 他の頂点の線を引くと、4つの三角形が出来ます。
つまり ｎ角形の 一つの頂点から 他の頂点の線を引くと、(n-2)個の三角形が出来ます。
三角形の内角の和は 180° ですから、n 角形の内角の和は 180(n-2)° となりますから、
一つの内角の大きさは 180(n-2)/n です。

又は、こんなやり方 だったかもしれません。
n 角形の真ん中に 点O を書きます。
各頂点と O とを結ぶと ｎ個の三角形が出来ます。
三角形の内角の和は 180° ですから
ｎ個の三角形の 内角の和は 180n° ですが、
内角の和は 中心の O の周りの 360° を引いたものになりますから、
180n-360=180(n-2) で、内角一つは 180(n-2)/n となります。

言葉での説明は めんどくさいですが、
図を書けば 見ただけで 分かると思います。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2020/07/15 08:46

数学的帰納法で

正三角形に三角形は（３－２）＝１つだから内角の和は１８０°ｘ（３－２）。
頂点は３つあるので１８０÷３＝６０°＝１８０°ー３６０°÷３
正四角形に三角形は（４－２）＝２つだから内角の和は１８０°ｘ（４－２）。
　　頂点は４つあるので１８０ｘ２÷４＝９０°＝１８０°ー３６０°÷４
正ｎ角形に三角形は（ｎ－２）。だから内角の和は１８０°ｘ（ｎ－２）。頂点はｎあるので１８０ｘ（ｎ－２）÷ｎ
＝１８０°ー３６０°/nが成り立つとして、
正（ｎ＋１）角形に三角形は（ｎ＋１－２）。だから内角の和は１８０°ｘ（ｎ＋１－２）。頂点は（ｎ＋１）あるので１８０°ｘ（ｎ＋１－２）÷（ｎ＋１）＝１８０°ー３６０°/(n+1) と成り立つ。

よって、正ｎ角形に三角形は（ｎ－２）。だから内角の和は１８０°ｘ（ｎ－２）。頂点はｎあるので１８０ｘ（ｎ－２）÷ｎ＝１８０°ー３６０°/nが成り立つ。

No.2 回答者： tekcycle 回答日時： 2020/07/15 06:44

ｎに三角形なら3、四角形なら4、五角形なら5、六角形なら6、を代入して計算して、まずその式が正しいかどうか確認しましたか？

133ページでどういう解説がしてあるのか知りませんが、三角形の内角の和は180度です。
四角形に対角線を引くと、三角形が二つできるので、四角形の内角の和は、三角形の内角の和二つ分です。
五角形のある頂点から、その頂点と隣り合ってはいない頂点に線を引くと、三角形が三つできます。
だから五角形の内角の和は三角形三つ分。ちゃんと図を描きながら理解してください。間違っても文章上で納得しようなどとは思わないこと。
六角形でも同様にやると、三角形が四つでき、だから六角形の内角の和は三角形四つ分。
見方を変えると、三角形の一辺に、その辺を底辺とする三角形を加えてやると四角形ができ、四角形の一辺に、その辺を底辺とする三角形を加えてやると五角形になり、五角形にの一辺に、その辺を底辺とする三角形を加えてやると六角形になります。
七角形でも八角形でも同じ。
それを式にすると、そのｎ角形の内角の和の式になる。
内角の和はそうなるので、正ｎ角形の内角一つの大きさは、それをｎで割ってやれば良い。そうするとその式になる。

なお、上の証明から云々は、その証明を見ていないので何とも言えません。

何が解らないのか判りませんが、基本的には、文字式をぼーっと眺めていても、そうだ！その通りだ！とはなりません。
ｎなどに具体的な数字を代入する、具体例を挙げてみる、などして、不承不承ながらでも納得することです。
図を描く、沢山描くなどすることも必要です。

No.1 回答者： はぐくい 回答日時： 2020/07/15 06:36

上の証明を見せてください