数学の証明問題

数学の論証問題の解き方を教えてください。『次のような条件を満たす集合Aがある。
(ⅰ)Aの要素は正の実数である。
(ⅱ)Aは少なくとも2つの要素をもつ。
(ⅲ)p∈A、q∈Aでp≠qならば、
p/q∈Aである。
このとき、次の(1)、(2)の問いに答えるという問題です。
(1)Aは無数に多くの要素をもつことを示す。
(2)1 ∈A、2 ∈Aであるとき、全ての整数nに対して、2^n ∈Aであることを示す。』

以下に自分の解いた過程を書いておきます。
間違っている箇所などのご指摘をお願いします。
(1)Aの要素の個数が有限個であると仮定する。この時、最大の要素をa、最小の要素をbとする。a>1のとき、b/a∈Aなのでbより小さい要素がある。a<1のとき、b/a∈Aなのでaより大きい要素がある。これは最大をa、最小をbとしたことと矛盾する。したがって、Aは無数に多くに要素を持つ。(証明終)
(2)数学的帰納法で示す。n=1のとき、2∈Aで成立する。n=kのときに成立すると仮定すると、2^k∈A、2∈Aより、2^k/2=2^(k−1)∈A
k→∞で考えていいので全ての整数nについて2^n∈Aが成立する。(証明終)

No.1 回答者： kmee 回答日時： 2020/07/15 19:58

(2)

数学的帰納法は
1. X=1 で成り立つ
2. X=Y で成り立つと仮定すると、 X=Y+1 でも成り立つ
を組み合わせて
X=1でなりたつ
→ X=1で成り立つから X=1+1=2で成り立つ
→ X=2で成り立つから X=2+1=3で成り立つ
...
と、自然数全てで成り立つ、という流れです。

'応用で 2' X=Y で仮定すると、 X=Y-1 でも成り立つ
→ X≦1 の全ての整数で成り立つ
というのもあります

ここで注意しないといけないのは 2. のことです。
・「仮定」しているだけなので、実際に「X=Y」で成り立っているかどうかはわかりません。
・「逆」にあたる「X=Y+1で成り立つなら X=Yで成り立つ」の真偽はわかりません。


あなたの証明を見ると、
「n=kで成り立つと仮定すると、 n=k-1 でも成り立つ」
と、 上記の「応用(X=Y-1)」の形であり、 n≦1 のときしか証明していません。



「k→∞で考えていい」というのは、例えば
k=100 → k=99→ ... → k=1
となることを期待しているのではないでしょうか?
ですが、これは上の「注意」にあることで、「k=100 で成立する」とは言えません。

別の方法で、 n=kで成立→n=k+1 で成立となる方法を考えましょう。
2^k∈A → (2^k)・2 ∈A が言えるはずです。


あるいは、
n=kで成立→n=-kで成立
を証明できれば...