ネットが遅くてイライラしてない!?

数学です。まったく分からないのでヒントだけでも教えてください。1)2)両方です。自分なりに考えてマクローリン展開などを行ってみましたが、よくわかりません。教えて頂けると嬉しいです。

「数学です。まったく分からないのでヒントだ」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 補足

    「数学です。まったく分からないのでヒントだ」の補足画像1
      補足日時:2020/07/17 22:13
  • 補足2

    「数学です。まったく分からないのでヒントだ」の補足画像2
      補足日時:2020/07/17 22:39
  • 質問ばかりで申し訳ないんですが、(1)に理由をつけて とありますが、これはf(x)のn次マクローリン近似をP(x)として、それを求めたらP(x)=f(0)+f'(0)x+・・・+f^(n)x^n/n!になったという書き方で合ってますか?

      補足日時:2020/07/18 12:31

A 回答 (5件)

作ってみたマクローリン展開を何度か微分してみましたか?


1) は f(x) の n 次マクローリン近似(マクローリン展開を x^n の項で打ち切ったもの)
2) は f(x) の x=a を中心とする n 次テイラー近似(テイラー展開を (x-a)^n の項で打ち切ったもの)
が答えになります。理由は、マクローリン展開、テイラー展開を微分してみれば判ります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。(1)についてなのですが、まず問題の意味がよくわかりません。全て一致するようなものを求めよ。というのはP(x)の形を聞かれているということですか?マクローリン展開をなんどか微分してみましたが、結局何を求めれば良いか分からないです。

お礼日時:2020/07/17 21:35

> f(x)のn次マクローリン近似をP(x)として、それを求めたらP(x)=f(0)+f'(0)x+・・・+f^(n)x^n/n!になった


> という書き方で合ってますか?

さあね。
問題文を読んでも出題者の気持ちがよく解らない問題で、何とも言いかねます。
内容的には、それであまり問題はないのですが、どちらかというと
P(x)=(c_0)+(c_1)x+(c_2)x^2/2!+・・・+(c_n)x^n/n! と置くと
P^(k)(0) = c_k になるので
f^(k)(x) = P^(k)(0) より c_k = f^(k)(0)
くらいの書き方のほうが無難な気はしますね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。参考にさせていただきます。

お礼日時:2020/07/18 13:30

←補足2


その通りです。
P(x) は n 次以下の多項式であり、問題の条件を満たしていますね。

「n次以下」と書かれているのは、
P(x) = f(0) + f’(0)x + { f’’(0)/2! }x^2 + ... + { f^(n)(0)/n! }x^n
の右辺の係数のいくつかが値 0 になっているかもしれないからです。

同様に、n 次マクローリン近似を
x=a 中心の n 次テイラー近似に変えて行えば、
2) の答えになります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました!(2)もやってみます!また聞くかも知れないのでご了承下さい。

お礼日時:2020/07/17 23:04

←補足


写真の計算は、間違っています。
例えば、1行目。
f(x) = f(0) + f’(0)x + { f’’(0)/2! }x^2 + ... + { f^(n)(0)/n! }x^n
にはなりません。 その式は、左辺が f(x) そのもの、
右辺が f(x) の n 次マクローリン近似なので、イコールにはならない。
イコールにするためには、右辺を近似ではなくマクローリン展開にして
f(x) = f(0) + f’(0)x + { f’’(0)/2! }x^2 + ... + { f^(n)(0)/n! }x^n + ... (無限項続く)
にする必要があります。

f(x) の n 次マクローリン近似を P(x) とするときには、
P(x) = f(0) + f’(0)x + { f’’(0)/2! }x^2 + ... + { f^(n)(0)/n! }x^n
と書いたらいいです。 この式を微分すると、
P’(x) =    f’(0) + f’’(0)x + ... + { f^(n)(0)/(n-1)! }x^(n-1),
P’’(x) =       f’’(0) + ... + { f^(n)(0)/(n-2)! }x^(n-2)
となります。これらの式に x = 0 を代入したら、何が起こりますか?
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この回答へのお礼

書き起こしてみました。写真は補足2の通りです。

お礼日時:2020/07/17 22:40

> P(x)の形を聞かれているということですか?



問題文をよく読みましょう。
「多項式 P(x) で、〜ようなものを求めよ」と言われているのだから、
P(x) を求めて答える問題です。
その際、 f(x) の具体的な内容は与えられていないので、
f(x) を使った何らかの式で P(x) の各係数を記述することになりますね。

その答えは、No.1 に書いたとおりなのですが、
f(x) の n 次マクローリン近似を、実際に x で何回か微分してみましたか?
やってみれば解らないはずがないと思うのだけれど。
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この回答へのお礼

写真の通りになりました。写真は補足にあげます

お礼日時:2020/07/17 22:12

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