物理の課題が分からないです。
以下の文章の空欄に当てはまる語句や数値を答えよ。文章中の数値は SI 単位系の適切な単位によって表されているとし、解答には単位を含め、有効数字2桁で答えよ。
x軸上を運動する物体がある。この物体の全ての時刻 t における位置がわかっており x(t) と表されていたとすると、時刻 t における速度は位置を(イ)で(ロ)すれば良い。また、加速度は速度を(ハ)で(ニ)すれば分かる。
しかし実際には、物体の位置は、ある限られた時刻でしか測定することができない。そこで、どのくらいの時間間隔で位置を測定すると速度はどのくらいの精度で求められるかを考えてみよう。実際の位置が x(t)=2t3+4 と表されるような物体があったとする。この物体の、時刻 t=2 における速度を測定したい。時刻 t=1 における位置は(ホ)であり、時刻 t=3 における位置は(ヘ)なので、時刻 t=1 からt=3 の間にずっと同じ速度で運動していたと仮定して見積もった t=2 での速度は(ト)となるが、これは実際の t=2 における速度から(チ)パーセントだけずれている。
そこで、t=2 を中心に、時間間隔 t で位置を測定して、t=2 での速度を見積もることを考える。t=1 と t=3 で位置を測定した場合は、t が(リ)の場合に相当する。こうすると、位置の測定で求められる速度の誤差は、t の(ヌ)乗に比例する。誤差 2パーセント以内で t=2 での速度を求めるには、t を(ル)以下にすれば良い。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
これ、前にも回答したような気がするけど、削除されたのかな?
(イ)時間 t
(ロ)微分
(ハ)時間 t
(ニ)微分
ここまでは初歩中の初歩です。
実際の位置の式は
x(t) = 2t^3 + 4
と解釈します。
(ホ)x(1) = 2*1^3 + 4 = 6
(ヘ)x(3) = 2*3^3 + 4 = 58
この辺は「中学生の問題」です。
(ト)「みちのり」と「時間」から「速さ」を求める小学生の問題だ。
(58 - 6)/(3 - 1) = 52/2 = 26
(チ)この辺から訳が分からなくなってくる。
v(t) = dx/dt = d/dt(2t^3 + 4) = 6t^2 ①
だから
v(2) = 6 * 2^2 = 24
よって、相対誤差は
(26 - 24)/24 = 2/24 = 0.083333・・・ ≒ 0.083 = 8.3%
(リ)Δt = 3 - 2 = 2 - 1 = 1
(ヌ)t - Δt ~ t + Δt の間の「位置」から求めた平均速度が
Vav = [2(t + Δt)^3 - 2(t - Δt)^3]/[(t + Δt) - (t - Δt)] = {[2(t^3 + 3t^2*Δt + 3t(Δt)^2 + (Δt)^3] - 2(t^3 - 3t^2*Δt + 3t(Δt)^2 - (Δt)^3)]}/(2Δt) = 6t^2 + 2(Δt)^2
であり、①との「差」の比率は
R(t) = (Vav - v)/v = [(6t^2 + 2(Δt)^2) - 6t^2]/6t^2 = (1/3)(Δt/t)^2
ということで「2乗」かな。
(ル)t=2 のとき
R(2) = (1/12)(Δt)^2
これを 2% 以下にするには
(1/12)(Δt)^2 ≦ 0.02
→ (Δt)^2 ≦ 0.24
→ Δt ≦ 0.4898979・・・ ≒ 0.49
#1 さんとは、ここだけが違いますね。
Δt を 1→0.49 にすれば、速度の誤差は 8.3%→2% で (1/2)^2 = 1/4 になるということです。なので「ヌ」は「2乗」でよそそうです。
でも、これが何のためになるのかな?
もちろん、Δt → 0 の極限が「微分」なんだけど。
No.3
- 回答日時:
No.1です。
ルはNo.2さんの解答が正しいです。
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