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質問です。
減衰調和振動子の方程式
md^2x(t)/dt^2 + γdx(t)/dt + kx(t) = 0・・・①
に時間反転(t → −t)を施すと,
x(−t)も①を満たすのか、またx(t) が ①の解ならば,x(−t) も ①の解であるのか?
お願いします。

A 回答 (2件)

この微分方程式の両辺に時間反転を施すと、


 md^2x(-t)/dt^2 - γdx(-t)/dt + kx(-t) = 0
①の方程式と二項目が異なるのでx(t)が①の解だとしてもx(-t)は①の解にはなりません

※この問題の物理的意味
 ここで気付いて欲しいのは、第二項目がなければ時間反転に対称であるということ。例えばポテンシャルが定義できる力学系
 md^2x(t)/dt^2 = -dV(x)/dx
は時間の項が二回微分だけなので対称ですよね。   これはポテンシャル下で現実の粒子の動きに対する巻き戻しの動きも物理的に存在しうることを示しています。
 そして、今は時間の一階微分の空気抵抗のような項があることでこの対称が破れます。
 この抵抗というエネルギーの散逸がエントロピーを増加させるから、その逆の過程は起こらないため、対称が破れる。ちゃんと勉強してけば熱力学をやったときその事に気付くでしょう
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数学における微分方程式であれば、x(-t)も解になる。


しかし、物理であればt=0が発振の出発点になるので、t<0は意味をなさない。
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