素数が無限個あることの証明についての質問です！ どうしてn1が２以上の自然数で1を含まないのかがわか

素数が無限個あることの証明についての質問です！
どうしてn1が２以上の自然数で1を含まないのかがわかりません
n1を自然数とするではダメなのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/25 20:40

写真の証明は、

n_1 が 2 以上の自然数である場合に何が起こるかを説明しているだけで、
n_1 が 2 以上の自然数であると証明しているわけではありません。
そのへんをわきまえて、何が書いてあるかを理解するようにしましょう。

n_1 = 1 である場合、n_1 と n_1 + 1 は「互いに素」ではありますが、
n_2 = (n_1)(n_1 + 1) = 2 は素因数をひとつしか持ちません。このため、
以下の議論を n_1 ≧ 2 の場合と同様に進めることはできず、除外してあります。

証明の論旨としては、n_1 ≧ 2 であるような自然数 n_1 が 1 個あれば
素数が無限に存在することを示すことができ、n_1 が任意の自然数である必要はありません。
n_1 ≧ 2 であるような自然数が存在することは自明ですから、
そのような n_1 のひとつを採用して以下の証明を行えばいいだけなのです。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/07/25 15:12

数論の基本定理を綺麗にする為、1を素数から除外したから。

数論の基本定理
全ての正整数は素数か合成数であって、合成数の場合にはただ1通りの素数の積で表せる。
素因数分解の1意性とも言う。

1を素数にすると、
4=1×2×2
4=1×1×2×2
4=1×1×1×2×2
・
・
と無限通りに分解され、素因数分解の1意性が成り立たなくなる。

だから、理論の綺麗にする為に1を素数から除外した。

No.2 回答者： ファイナル弁当 回答日時： 2020/07/25 14:53

1は素数ではないのでn1=1の場合は考える必要がないからだと思います。

No.1 回答者： puyo3155 回答日時： 2020/07/25 14:51

１は素数じゃないから。