計測工学です。 次の解説をお願いします。 ある量yを計測する式が y = ab で与えられています。

計測工学です。
次の解説をお願いします。

ある量yを計測する式が y = ab で与えられています。ふたつの測定量 a, b の平均値と誤差が a = 2.1±0.2, b = 1.3±0.1 と示されています。

（１） a, b は正規分布にしたがいますが、両者の関係が独立かどうかわからないとします。 y の平均値 y0 と最大誤差 ∆y を求めてください。

（２） a, b は正規分布にしたがい、両者の関係は独立であるとします。 y の平均値 y0 と誤差 ∆y を求めてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/07/27 11:25

「計測工学」を勉強されているのであれば、「誤算の伝播」ということを学ばれていると思います。

具体的には下記のようなことです。

↓　誤算の伝播
http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa …

一般に「誤差」といわれているものは、ランダムに発生する「平均値からのばらつき」の「標準偏差」です。
「かけ算」をした場合の誤差とは、各々の「標準偏差」が、「かけ算結果の標準偏差」にどのように伝播するかということです。

基本的な「かけ算」の場合の誤差は、(2) のケースであり
・平均値は y0 = E[ab] = E[a]*E[b] = 2.1 * 1.3 = 2.73
・誤差（かけ算結果の標準偏差）は
　∆y = ab√[(Δa/a)^2 + (Δb/b)^2]
　　 = √[(bΔa)^2 + (aΔb)^2]
　　 = √[(1.3 * 0.2)^2 + (2.1 * 0.1)^2]
　　 = 0.3342･･･
　　 ≒ 0.33

(1) は「a と b に相関がある場合」であり、その場合には「a の偏差と b の偏差の積が共分散」となることから、最大誤差は「共分散 = ± 1」のときです（相関がなければ「共分散 = 0」）。
そのときには、かけ算結果の共分散 Cov(ab) は
　 Cov(ab) = ±Δa * Δb = ±0.02
となります。
この場合には、かけ算結果 ab の期待値は
　E[ab] = E[a]*E[b] ± Cov(ab) = 2.73 ± 0.02
になるので、
・平均値：y0 = E[a]*E[b] = 2.1 * 1.3 = 2.73
とした場合には
・誤差（かけ算結果の標準偏差）の最大値は
　∆y = ab√[(Δa/a)^2 + (Δb/b)^2] + 2*Cov(ab)
　　 ≒ 0.33 + 0.04
　　 = 0.37